$ABCD$ es un cuadrado y $H$ es un punto interior, que lo divide por cuatro triángulos. Si $W$ , $X,$ $Y$ y $Z$ son los centros de los triángulos $AHD$ , $AHB$ , $BHC$ y $CHD$ respectivamente , entonces cuál es la relación entre el área del cuadrado $WXYZ$ y el área del cuadrado $ABCD$ ?
¿Puede alguien darme una pista o una ayuda para ir?
Muchas gracias
$XW=YZ=\frac{1}{3}BD$ , $XY=WZ=\frac{1}{3}AC$ y $XYZW$ es cuadrado.
Por lo tanto, la relación es $\frac{2}{9}$ porque $S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BD$ y $$\frac{S_{XYZW}}{S_{ABCD}}=\frac{\frac{1}{3}AC\cdot\frac{1}{3}BD}{\frac{1}{2}AC\cdot BD}=\frac{2}{9}$$
Por ejemplo, dejemos que $M$ es un punto medio de $BH$ .
Por lo tanto, $$\frac{XY}{AC}=\frac{MY}{MC}=\frac{1}{3}$$
Dibuja el punto en $AH$ que está más cerca de $A$ que $H$ en una proporción de 1:2. Llama a esto $A'$ . Repetir para $B$ , $C$ y $D$ . Demostrar que $A'B'C'D'$ es otro cuadrado, y que cada vértice de $WXYZ$ es el punto medio de una arista de $A'B'C'D'$ . Concluir que $WXYZ$ tiene la mitad de superficie que $A'B'C'D'$ .
Tenga en cuenta, por cierto, que no hay razón para suponer que $H$ es coplanario con $ABCD$ . De hecho, es más fácil visualizar este problema si se asume que no lo es, haciendo $ABCDH$ un prisma cuadrado.
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