La existencia de un inyectiva $C^1$ mapa entre el $\mathbb R^2$ $\mathbb R$

Question

Me estoy aburriendo de esperar por el tren, así que me estoy pensando si puede existir un $C^1$ inyectiva mapa entre el$\mathbb{R}^2$$\mathbb{R}$. A mí me parece que la respuesta es no, pero no puedo encontrar una prueba o un contraejemplo... me Pueden ayudar?

Answer 1

No hay tal mapa.

Si $f\colon\mathbb R^2\to\mathbb R$ es continua, entonces su imagen está conectado, que es un intervalo en $\mathbb R$. Tenga en cuenta que este es un no-degenerada intervalo ya que la función es inyectiva.

Sin embargo, si usted eliminar cualquier punto de $\mathbb R^2$ permanece conectado, sin embargo si queremos eliminar un punto cuya imagen se encuentra en el interior del intervalo, a continuación, la imagen no puede ser conectado todavía si la función es inyectiva.