Serie de Cauchy "Product Like"

Question

Si tengo:

$$\sum_{q=0}^{+\infty}\alpha_q \sum_{r=0}^q \beta_r\gamma_{q-r}$$

¿Hay alguna forma de manipular esta expresión para simplificarla o al menos reescribirla de otra forma?

Acabo de darme cuenta de que parece una especie de producto Cauchy

$$\sum_{q=0}^{+\infty}\beta_q \cdot\sum_{q=0}^{+\infty}\gamma_q=\sum_{q=0}^{+\infty}\sum_{r=0}^q\beta_r \gamma_{q-r}$$

pero por supuesto falta el término $\alpha_q$ por desgracia. ¿Tiene alguna idea?

Answer 1

Las representaciones comunes son \begin{align*} \sum_{q=0}^{\infty}\alpha_q\sum_{r=0}^q\beta_r\gamma_{q-r} &=\sum_{\color{blue}{0\leq r\leq q<\infty}}\alpha_q\beta_r\gamma_{q-r}\\ &=\sum_{r=0}^\infty\beta_r\sum_{q=r}^\infty\alpha_q\gamma_{q-r}\\ &=\sum_{r=0}^\infty\beta_r\sum_{q=0}^\infty\alpha_{q+r}\gamma_{q}\\ \end{align*}