Cómo encontrar $f$ si $f(f(x))=\frac{x+1}{x+2}$

Question

Dejar $f:\mathbb R\to \mathbb R$ y tal

$$f(f(x))=\dfrac{x+1}{x+2}$$

Encuentre el $f(x)$

Mi intento

He encontrado $f(x)=\dfrac{1}{x+1}$ porque cuando $f(x)=\dfrac{1}{x+1}$ entonces $$f(f(x))=f\left(\dfrac{1}{x+1}\right)=\dfrac{1}{\dfrac{1}{x+1}+1}=\dfrac{x+1}{x+2}$$ así que $f(x)=\dfrac{1}{x+1}$ esta condición, pero $f(x)$ ¿Tiene otro formulario? Gracias

Answer 1

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Hay una relación entre la función $f(x)$ y los números de Fibonacci, que es bastante interesante.

Sabemos que $$f(f(x)) = \frac{x+1}{x+2}$$ Si sustituimos $x$ con $f(f(x))$ de nuevo obtenemos $$f(f(f(f(x)))) = \frac{5x+8}{8x+13}$$
Si repetimos este proceso de nuevo, obtenemos
$$f(f(f(f(f(f(x)))))) = \frac{13x+21}{21x+34}$$ De hecho, si aplicamos la función $n$ veces, donde $n$ es incluso obtenemos,
$$f(f(f(...f(x)...))) = \frac{F_{n-1}x+F_{n}}{F_{n}x+F_{n+1}}$$ donde $F_n$ es el $n$ El número de Fibonacci

Obsérvese que si suponemos que la relación anterior se mantiene para impar $n$ (es decir, aplicamos $f(x)$ un número impar de veces), y lo componemos consigo mismo (es decir, obtenemos $f(f(f(...f(x)...)))$ $2n$ veces) obtenemos exactamente el valor de $f(x)$ compuesto $2n$ tiempos. Esto, de nuevo, podemos comprobarlo fácilmente.
Dado que la relación anterior es válida para impar $n$ vemos que una posible función es $$\frac{1}{x+1}$$ cuando sustituimos $n=1$