¿La serie $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(n-\sqrt{n^2+n})}{n}$ ¿converger?

Question

Estoy repasando para mi examen de mañana mirando exámenes antiguos, lamentablemente no tengo soluciones. Aquí hay una pregunta que encontré : determinar si la serie converge o diverge. Si converge encuentra su límite.

$$\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{\sin(n-\sqrt{n^2+n})}{n}$$

He descartado las posibles pruebas hasta la prueba de comparación de límites, pero me parece que me he equivocado en alguna parte.
prueba de divergencia - el límite es 0 por el teorema de la compresión
prueba integral - que sabe cómo resolver esto
prueba de comparación - la serie no es positiva
pruebas de raíz de ratio - en el valor absoluto de la serie, esto no funcionaría
prueba de series alternas - no funcionaría, la serie no es decreciente ni alternante

¿Alguna idea de con qué comparar esta serie aquí o dónde está mi error en mi razonamiento anterior?

Answer 1

La clave aquí es que $n - \sqrt{n^2 + n}$ converge a $-{1 \over 2}$ como $n$ va al infinito: $$n - \sqrt{n^2 + n}= (n - \sqrt{n^2 + n}) \times {n + \sqrt{n^2 + n} \over n + \sqrt{n^2 + n}}$$ $$= {n^2 - (n^2 + n) \over n + \sqrt{n^2 + n}} = -{n \over n + \sqrt{n^2 + n}}$$ $$= -{1 \over 1 + \sqrt{1 + {1 \over n}}}$$ Tome los límites como $n$ va al infinito para obtener $-{1 \over 2}$ .

Por lo tanto, $\sin(n - \sqrt{n^2 + n})$ converge a $\sin(-{1 \over 2})$ y la serie diverge de forma similar a ${1 \over n}$ Utilizando la prueba de comparación de límites, por ejemplo.