Propiedades de los polinomios invariantes

Question

Dejemos que $\alpha$ sea una primitiva $k$ de la unidad. Si $f(z)$ es un polinomio complejo de grado $n$ y $f(\alpha^j z) = f(z) $ para todos $j \in \mathbb{Z}$ ¿qué podemos decir sobre $f$ ?

Este tipo de funciones se llaman funciones invariantes. No he podido encontrar ningún libro de texto o recurso sobre este tema.

Answer 1

Escribe $f=f_0+\cdots +f_n$ en sus piezas homogéneas.

$f(\alpha^j z)=f(z)$ implica que

$f_t(\alpha^j z)=\alpha^{jt}f_t= f_t$

y así $jt\equiv 0 \bmod k$ .

Así, $z^j f= z^k F$

donde $F=\sum_{\{t \ : \ jt\equiv 0 \bmod k\}}f_{\frac{jt}{k}}$