Por qué $\det(L_A)=[\det(A)]^n$ ?

Question

$A$ es un $n\times n$ matriz y $L_A$ es el operador de multiplicación por la izquierda en el $n\times n$ matrices.

He visto esta pregunta y la respuesta dada. Pero no he podido entender la respuesta. He comentado la respuesta, pero no he recibido ninguna respuesta para obtener más detalles.

Así que, ¿podría alguien darme más detalles?

Answer 1

Estamos viendo la multiplicación de la izquierda de $A$ como un operador lineal en el $n^2$ -espacio vectorial dimensional de $n\times n$ matrices.

Una base conveniente para la $n^2$ -consiste en todas las matrices que tienen $0$ en todas las entradas excepto $1$ en uno de ellos. $L_A$ asigna cada uno de estos elementos de la base a una matriz que contiene una columna de $A$ y ceros en todas las demás columnas. Si escribimos la matriz de $L_A$ con respecto a esta base (suponiendo que hemos ordenado la base en orden columna-mayor), obtenemos esto $n^2\times n^2$ matriz de bloques :

$$ \begin{pmatrix} A & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & A &\cdots & 0 \\ \vdots &\vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 &\cdots & A \end{pmatrix} $$

Es un hecho elemental que el determinante de una matriz diagonal de bloques es el producto de los determinantes de los bloques de la diagonal, en este caso, $(\det A)^n$ .

(Esto puede verse considerando la expansión completa del determinante, por ejemplo, o escribiendo cada uno de los bloques como un producto de matrices elementales).