Identidad de Trigonometría (Prueba): $ \sin^4\theta +\cos^4 \theta =1-2\sin^2 \theta \cos^2 \theta $

Question

Pregunta: Demostrar que $$ \sin^4\theta +\cos^4 \theta =1-2\sin^2 \theta \cos^2 \theta $$

Lo que he intentado (normalmente empiezo por el lado complejo)

Así que empezando por el LHS

$$ \sin^4\theta +\cos^4 \theta =1-2\sin^2 \theta \cos^2 \theta $$

$$ (\sin^2\theta)^2 + \cos^4 \theta =1-2\sin^2 \theta \cos^2 \theta $$

$$ (1-\cos^2\theta)^2 + \cos^4 \theta =1-2\sin^2 \theta \cos^2 \theta $$

$$ (1-\cos^2\theta)(1-\cos^2\theta) + \cos^4 \theta =1-2\sin^2 \theta \cos^2 \theta $$

$$ 1 - 2\cos^2\theta + \cos^4\theta + \cos^4\theta =1-2\sin^2 \theta \cos^2 \theta $$

$$ 1 - 2\cos^2\theta + 2\cos^4\theta =1-2\sin^2 \theta \cos^2 \theta $$

Ahora estoy atascado... ¿es correcto mi planteamiento?

Answer 1

Como alternativa, puede simplemente cuadrado la identidad

$$ \cos^2\theta +\sin^2 \theta=1 $$

dando

$$ \cos^4\theta+2\cos^2\theta\sin^2\theta +\sin^4 \theta=1. $$