Demostrar la convergencia de la serie utilizando la serie de Taylor: $\sum_{n=1}^{\infty}\left(e^{\frac1{\large\sqrt{n}}}-1-\frac1{\sqrt{n}} - \frac{1}{2n}\right)$

Question

Estoy tratando de demostrar la convergencia de la siguiente serie utilizando la serie de Taylor.
$$\sum_{n=1}^{\infty}\left(e^{\frac{1}{\sqrt{n}}}-1-\frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{2n}\right)$$

$$e^{\frac{1}{\sqrt{n}}}=1+\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{2n} +\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^2 r\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$$

Cuando $\frac{1}{\sqrt{n}}\to 0$ entonces $r\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\to 0$ . Así que si $n\to\infty$ entonces $r\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\to 0$ $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}+r\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}+\sum_{n=1}^{\infty}r\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$$

No estoy seguro de la convergencia de $\sum_{n=1}^{\infty}r\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ . No puedo mostrarlo. ¿Podría ayudarme?

Answer 1

Sugerencia . Se puede escribir, mediante la expansión en serie de Taylor, como $n \to \infty$ , $$ e^{\large\frac1{\sqrt{n}}}=1+\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{2n}+\frac{1}{6n^{3/2}} +\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^3 r\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right) $$ con $r(u) \to 0$ como $u \to 0$ dando que, existe algún $n_0>0$ tal que $\displaystyle \left|r\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\right|\le1$ para todos $n \ge n_0$ Es decir $$ 0 \le\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^3 r\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\le\frac{1}{n^{3/2}},\qquad \qquad n\ge n_0, $$ dando la convergencia de $$ \sum_{n=1}^{\infty}\left(e^{\large\frac1{\sqrt{n}}}-1-\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{2n}\right)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{6n^{3/2}}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^3 r\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right) $$ por comparación con un convergente $p$ -serie.