Podría usted por favor me explique la razón por la que son isomorfos? Gracias, bye!
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Esto no es del todo cierto: $SO(3) \times SO(3)$ es isomorfo a $SO(4) / \mathbb{Z}_2$ donde $\mathbb{Z}_2 = \{1,-1\}$. (Topológicamente hablando, $SO(4)$ es una doble cubierta de $SO(3)\times SO(3)$.)
La explicación más simple de esto es la siguiente:
$SO(3)$ es isomorfo a $U(\mathbb{H})/\mathbb{Z}_2$ donde $U(\mathbb{H})$ es el grupo de la unidad de cuaterniones y $\mathbb{Z}_2 = \{1,-1\}$. En concreto, la acción de $U(\mathbb{H})$ $\mathbb{R}^3$ es por conjugación, donde $\mathbb{R}^3$ se identifica con el conjunto de los cuaterniones de la forma$ai+bj+ck$$a,b,c\in\mathbb{R}$. (Ver el artículo de Wikipedia sobre cuaterniones y espacial de rotación para obtener más información sobre esta acción.)
$SO(4)$ es isomorfo a $\bigl(U(\mathbb{H})\times U(\mathbb{H})\bigr)/\mathbb{Z}_2$ donde $\mathbb{Z}_2 = \{(1,1),(-1,-1)\}$. En particular, cualquier rotación de $\mathbb{R}^4$ puede ser definida por una ecuación de la forma $$ R(x) \;=\; axb $$ donde $a$ $b$ son cuaterniones y el vector de entrada $x\in\mathbb{R}^4$ se interpreta como una cuádrupla.
Una consecuencia de esto es que el spin grupo $\text{Spin}(3)$ es isomorfo a $U(\mathbb{H})$, mientras que $\text{Spin}(4)$ es isomorfo a $U(\mathbb{H}) \times U(\mathbb{H})$. Por lo tanto, $$ \text{Spin}(4) \;\cong\; \text{Spin}(3) \times \text{Spin}(3). $$ La declaración se dio también es cierto en el nivel de álgebras de Lie, es decir, $$ \mathfrak {} (4) \;\cong\; \mathfrak {} (3) \times \mathfrak {} (3). $$
FasterEd
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En el nivel de álgebras de Lie tenemos que ${\mathfrak {so}}(n)$ son sólo antisimétrica matrices $n \times n$. Resulta que las seis dimensiones del espacio de tal $4\times 4$ matrices se descompone en dos y tres dimensiones de los subespacios que son cada uno cerrado en tomar los conmutadores y cada uno de ellos cumple, precisamente, las relaciones de conmutación de $\mathfrak{so}(3)$.
Porque exponenciación define un isomorfismo entre un barrio de la identidad y una Mentira álgebra, tenemos que los dos grupos son localmente isomorfo. Sólo queda comprobar propiedades globales, como la simple conexión, número de componentes, etc., para estar seguro de que los grupos son realmente isomorfo (y no sólo una cobertura universal de cada uno de los otros, digamos, como en el caso de $SO(n)$$Spin(n)$.)
