En el uso antiguo, así como en el uso contemporáneo en la teoría de conjuntos, uno puede considerar una función sin especificar un codominio particular o un conjunto objetivo. (La insistencia en que una función venga acompañada de un codominio particular es una innovación comparativamente reciente, probablemente surgida en Bourbaki).
Es decir, si se entiende una función simplemente como un conjunto de pares ordenados que satisfacen la propiedad de la función (que cada entrada está asociada a una salida), o como una regla que asocia a cada objeto de un dominio un valor de salida, entonces es cierto decir que una función es uno-a-uno si y sólo si es una biyección de su dominio a su rango. Por lo tanto, las funciones inyectivas son realmente uno-a-uno en el sentido que usted desea.
Por supuesto, esta terminología de uno a uno ya estaba establecida desde hace tiempo cuando Bourbaki quiso insistir en que las funciones vinieran acompañadas de un codominio especificado, dando la definición de función como un triple consistente en dominio, codominio y conjunto de pares ordenados. El hecho de que en este contexto el concepto de uno a uno no cuente toda la historia puede ser parte de la razón por la que se introdujo la terminología inyectiva, suryectiva y biyectiva.
Pero mientras tanto, una función es unívoca si y sólo si proporciona una correspondencia unívoca entre su dominio y su rango. Esto es perfectamente lógico, y parece ser la explicación que buscas. Creo que la terminología de uno a uno empieza a parecer ilógica sólo cuando se insiste también en atribuir a la función un conjunto objetivo o codominio que no es el mismo que su rango, lo cual es, después de todo, algo ilógico.
