No simplicidad de los complementos de Frobenius

Question

Estoy leyendo un artículo y dice que el siguiente teorema implica que el complemento de Frobenius de cualquier grupo de Frobenius finito no es un grupo simple no abeliano.

( Zassenhaus 1936 ) Deja que $G$ sea un finito Grupo de Frobenius y $A$ sea su complemento de Frobenius. Entonces el Sylow $p$ -subgrupos de $A$ son cíclicos para impar $p$ y son cíclicos o cuaterniones generalizados para $p=2$ .

Sé que si $A$ tiene Sylow cíclico $2$ -subgrupos o no Sylow $2$ -subgrupos, entonces $G$ es soluble y, por tanto, no es un grupo simple no abeliano. Eso se deduce del hecho de que si todos los subgrupos Sylow de un grupo son cíclicos entonces este grupo es soluble. Pero no tengo ni idea de cómo tratar el caso en el que los Sylow $2$ -subgrupos son cuaterniones generalizados. Quizás esta pregunta sea fácil y la razón por la que estoy atascado es que no estoy familiarizado con los grupos de cuaterniones generalizados. Cualquier ayuda se agradece sinceramente. Gracias.

Answer 1

El teorema de Brauer-Suzuki establece que si $G$ ha generalizado el cuaternión Sylow $2$ -subgrupos y $O_{2'}(G)=1$ (es decir, $G$ no tiene subgrupos normales de orden impar) entonces $|Z(G)|=2$ . Por lo tanto, no hay ningún grupo simple con Sylow cuaternario generalizado $2$ -subgrupos.