¿Esta implicación es correcta? (Prueba de la desigualdad de Bessel)

Question

Tengo curiosidad por saber si esta implicación es correcta:

$$0 \le\int_a^b \left( f(x)-S_n(x) \right)^2dx \Rightarrow 0 \le \lim_{n\rightarrow \infty}\int_a^b \left( f(x)-S_n(x) \right)^2dx.$$

¿Qué tiene que ser cierto para que esto se mantenga? ¿Es suficiente la existencia del límite en cuestión? Esto es de mi intento de demostrar la desigualdad de Bessel. La secuencia $$T_n = \int_a^b \left( f(x)-S_n(x) \right)^2dx =\dots= \|f\|^2-\sum_{k=0}^n \gamma_k ^2 \|\varphi_k \|^2$$

debería converger (aunque no estoy seguro de a qué, no necesariamente a $f$ ¿verdad?) dado que $f \in L^2([a,b])$ y $(\varphi_k ) \subset L^2([a,b])$ es una secuencia ortogonal de funciones y $\gamma_k = \dfrac{\langle f \mid \varphi_k\rangle}{\|\varphi_k\|^2}$ . Cómo demostrar que $T_n$ ¿converge?

Answer 1

Para las series de Fourier

$$f(x)\sim\dfrac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^\infty (a_k\cos kx+b_k\sin kx)$$

para funciones continuas a trozos $f(x)$ He respondido a una pregunta en Las matemáticas: Derivación del teorema de Parseval mediante la desigualdad de Bessel que aborda precisamente ese problema.