Determinar si un subconjunto es un subespacio

Question

Los problemas son los siguientes:

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Determine si los siguientes subconjuntos de $\mathbb{R}^3$ son subespacios de $\mathbb{R}^3$ .

1. $A = \{(u^2, v^2, w^2) \,|\, u, v, w \in \mathbb{R} \}$ ,
2. $B = \left\{(a, b, c) \,|\, \begin{pmatrix} a & b & c\\ 1 & 2 & 0\\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \text{is not invertible}\right\}$ ,
3. $C = \left\{(x, y, z) \,|\, \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x\\ 2y\\ 2z \end{pmatrix}\right\}$ .

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Esto es lo que he probado hasta ahora:

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1. $A$ es un subespacio de $\mathbb{R}^3$ ya que contiene el $0$ vector (?).

2. La matriz no es invertible, lo que significa que el determinante es igual a $0$ . Teniendo esto en cuenta, al calcular el determinante de la matriz se obtiene $4a - 2b + c = 0$ . Así, el subconjunto original puede representarse como $B = \left\{\left(\frac{2s - t}{4}, s, t\right) \,|\, s, t \in \mathbb{R}\right\}$ es decir $B = \text{span}\left\{(\frac{1}{2}, 1, 0), (-\frac{1}{4}, 0, 1)\right\}$ un avión en $\mathbb{R}^3$ .

3. Resolver el sistema lineal,

$$ \begin{aligned} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 2x\\ 2y\\ 2z \end{pmatrix}\\ x \begin{pmatrix} 1\\ 4\\ 7 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} 2\\ 5\\ 8 \end{pmatrix} + z \begin{pmatrix} 3\\ 6\\ 9 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 2x\\ 2y\\ 2z \end{pmatrix}\\ x \begin{pmatrix} -1\\ 4\\ 7 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} 2\\ 3\\ 8 \end{pmatrix} + z \begin{pmatrix} 3\\ 6\\ 7 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$$ La conversión a la forma escalonada da la solución trivial $x = 0, y = 0, \text{ and } z = 0$ ; $C$ sólo contiene el $0$ vectorial.

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¿Es correcto mi razonamiento? Además, en este post se han omitido bastantes cálculos por razones de brevedad. Independientemente de esto, ¿están bien justificadas mis respuestas?

Gracias.

Answer 1

Tu prueba me parece bien pero por si acaso $A$ debemos observar que en general

$$(u_1^2, v_1^2, w_1^2) + (u_2^2, v_2^2, w_2^2)\neq ((u_1+u_2)^2, (v_1+v_2)^2, (w_1+w_2)^2)$$

y puedes encontrar fácilmente por ti mismo un ejemplo en el que la igualdad no se cumple, lo cual es un paso necesario para completar la prueba.

Answer 2

Es importante recordar que

Dejemos que $(V,\mathbb{F},+,\cdot)$ sea un espacio vectorial y $(W,\mathbb{F},+,\cdot)$ un subconjunto de $V$ . Entonces $W$ es un subespacio de $V$ si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes para las operaciones definidas en $V$ .
i) $\vec{0}\in W$ .
ii) $\forall x,y \in W: x+y\in W$ .
iii) $\forall c \in \mathbb{F},\forall x\in W: c\cdot x\in W$ .

Ahora bien, hay que tener en cuenta que en $\color{blue}{a)}$ $A=\{(u^{2},v^{2},w^{2}): u,v,w\in \mathbb{R}\}$ podemos ver que $(0,0,0) \in A$ . Ahora, dejemos que $v_{1}=(u_{1}^{2},v_{1}^{2},w_{1}^{2}), v_{2}=(u_{2}^{2},v_{2}^{2},w_{2}^{2})\in A$ así, podemos ver que en general $$v_{1}+v_{2}=(u_{1}^{2},v_{1}^{2},w_{1}^{2})+(u_{2}^{2},v_{2}^{2},w_{2}^{2})\not=((u_{1}+u_{2})^{2},(v_{1}+v_{2})^{2},(w_{1}+w_{2})^{2})$$ igualmente si $\alpha \in \mathbb{R}$ y $v=(u^{2},v^{2},w^{2})\in A$ así, podemos ver que en general $$\alpha \cdot v=\alpha\cdot (u^{2},v^{2},w^{2})\not=((\alpha u)^{2},(\alpha v)^{2},(\alpha w)^{2})$$ Entonces, ¿qué opinas de $A$ ¿Crees que $A$ es un subespacio vectorial de $\mathbb{R}^{3}$ ?
Respuesta: $A$ no es un subespacio vectorial de $\mathbb{R}^{3}$ . Pensando en ello.

Ahora, para $\color{blue}{b)}$ Obsérvese que utilizando su análisis podemos ver que $B=\{(a,b,c)\in \mathbb{R}^{3}: 4a-2b+c=0\}$ . Es un subespacio vectorial de $\mathbb{R}^{3}$ porque:
i) $(0,0,0) \in \mathbb{R}^{3}$ desde $4(0)-2(0)+0=0$ .
ii) Que $x=(a,b,c), y=(a',b',c')\in B$ por lo que por hipótesis $4a-2b+c=0$ y $4a'-2b'+c'=0$ . Por lo tanto, $$v_{1}+v_{2}=(a,b,c)+(a',b',c')=(a+a',b+b',c+c') \in B$$ porque $4(a+a')-2(b+b')+(c+c')=0$ .
iii) Que $c \in \mathbb{R}$ y $(a,b,c)\in B$ por lo que, por hipótesis, podemos ver que $4a-2b+c=0$ . Por lo tanto, $$c\cdot(a,b,c)=(ca,cb,cd)\in B$$ porque $4(ca)-2(cb)+(cd)=0$ .
Así que, $B$ es un subespacio vectorial de $\mathbb{R}^{3}$ .

Por último, para $\color{blue}{c)}$ utilizando su análisis podemos que $C=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^{3}: x=y=z=0\}=\{(0,0,0)\}$ y $C$ es un subespacio trivial de $\mathbb{R}^{3}$ .

Answer 3

La mayor parte es genial. En 1 los vectores en $A$ no puede ser multiplicado por un escalar negativo, por lo que no es un subespacio. En la 2 y la 3 tu razonamiento es perfecto, pero quizás puedas exponerlo de forma más concisa, en función de lo que ya hayas aprendido. Una vez que obtienes que el subconjunto está definido por ecuaciones lineales ya has terminado - implica inmediatamente que es de hecho un subespacio. No tienes que resolver las ecuaciones.