pregunta sobre la fórmula integral de cauchy para las derivadas

Question

He estado trabajando con el libro de Análisis Complejo de Marsden, y he llegado a una pregunta en la que no estoy muy seguro de haberla entendido. Me gustaría recibir ayuda.

pregunta: Sea f analítica en una región, A, y sea g una curva cerrada en A. Para cualquier $z_0$ en A no en g, demostrar que:

$\int_{g}\frac{f^{'}(a)}{{a - z_0}}da$ = $\int_{g}\frac{f(a)}{{(a - z_0)}^2}da$

y la siguiente pregunta: ¿cómo se puede generalizar este resultado?

mi respuesta:

Pensé que podría utilizar la fórmula integral de Cauchy para las derivadas, con el hecho de que dada la función es analítica, que todas las derivadas de f existen en A y todas son analíticas.

Así que utilizando la fórmula

$f^{k}(z_0) * I(g, z_0)$ = $\frac{k!}{2\pi i}$ $\int_g$$ \frac{f(a)}{(a-z)^{k+1}da;$ k = 1, 2, 3, ...

Acabo de sustituir en $f$ = $f^{'}$ para obtener el lado izquierdo, ya que $f^{'}$ también es analítica, y usé k = 0; luego usé $f = f$ y k = 1 para obtener el lado derecho. Esto hace que la igualdad se mantenga.

No estaba seguro de cómo generalizar esto, ya que estaba pensando en una forma de hacer que la igualdad se mantuviera. Esto me hace pensar que lo estoy haciendo mal.

muchas gracias.

Answer 1

Volvamos a empezar. La fórmula es sobre los derivados. No la has escrito correctamente (pero tu idea es buena) La lhs tiene la derivada k-ésima

$$f^{(k)}(z_0) * I(g, z_0)=\frac{k!}{2\pi i}\oint_g\frac{f(a)}{(a-z)^{k+1}}da\tag 1$$

ser $f^{(0)}(z_0)=f(z_0)$ . Ahora, defina $h(z)=f'(z)$ entonces:

$$h(z_0) * I(g, z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_g\frac{h(a)}{a-z}da\tag 2$$

$$f'(z_0) * I(g, z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_g\frac{f'(a)}{a-z}da$$

Tomando $(1)$ Con $k=1$ :

$$f'(z_0) * I(g, z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_g\frac{f(a)}{(a-z)^2}da$$

Y ya está:

$$\oint_g\frac{f'(a)}{a-z}da=\oint_g\frac{f(a)}{(a-z)^2}da$$

La generalización. Sea $h(z)=f^{(j)}(z)$ y utilizando $(2)$

$$f^{(j)}(z_0) * I(g, z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_g\frac{f^{(j)}(a)}{a-z}da$$

Ahora, por $(1)$ con $k=j$

$$f^{(j)}(z_0) * I(g, z_0)=\frac{j!}{2\pi i}\oint_g\frac{f(a)}{(a-z)^{j+1}}da$$

Que conduce a:

$$\oint_g\frac{f^{(j)}(a)}{a-z}da=j!\oint_g\frac{f(a)}{(a-z)^{j+1}}da$$