Deje $A$$B$$O_n(\mathbb{R})$. Mostrar que $A$ $B$ viaje.

Question

Deje $A$ $B$ $O_n(\mathbb{R})$ (ortogonal de matrices) tal que $|||B-I_n|||<\sqrt{2}$ (subordinada norma) y $A$ conmuta con $BAB^{-1}$.

Mostrar que $A$ $B$ viaje.

Mi 'intento':

Sé que $B^{-1}=B^{T}.$

Tenemos $$ABAB^{T}=BAB^{T}A.$$

Desde $A,B \in On(\mathbb{R})$$AA^{T}=I_n$$BB^{T}=I_n$.

Por desgracia no veo cómo puedo utilizar el hecho de que $|||B-I_n|||<\sqrt{2}$.

Gracias de antemano por su ayuda.

Answer 1

Si $A$ $BAB^{-1}$ conmuta, entonces son diagonalizable ( $\mathbb{C}$ ) en una misma base ortonormales; deje $$\mathbb{R}^n = E_1 \overset{\bot}{\oplus} \cdots \overset{\bot}{\oplus} E_r$$ ser la asociada a la descomposición.

Si $e_i \in E_i$ existe $\lambda_i \in \mathbb{C}$ tal que $BAB^{-1}e_i= \lambda_i e_i$, por lo tanto $A(B^{-1}e_i)= \lambda_i (B^{-1}e_i)$. Por lo tanto, $B^{-1}$ (y a fortiori $B$) permutes los subespacios propios de a $A$, que es el $E_i$'s.

Supongamos por contradicción que existe $i \neq j$ tal que $BE_i = E_j$. Entonces para cualquier $e_i \in E_i$ satisfacción $\|e_i \|=1$,

$$2= \| Be_i \|^2+ \| e_i \|^2 = \| Be_i-e_i \|^2 \leq \| B- \operatorname{Id} \|^2< 2,$$

una contradicción. Por lo tanto, $BE_i=E_i$ por cada $1 \leq i \leq r$. Ahora, se puede deducir que el $A$ $B$ viaje.

Answer 2

Lamentablemente no te puedo dar pruebas sólidas para la siguiente, por lo que esta es en realidad una serie de (esperemos) conjeturas....pero sospecho que el siguiente, después de un poco de investigación:

1. si $\|B-I_n\|<\sqrt{2}$$B \in $$(n)$, por lo que en otras palabras $B$ es una "rotación". En las dimensiones 2 y 3 esto ciertamente parece...puede probarlo en una matriz de rotación, y usted también encontrará que si usted columnas de intercambio para que la transformación no es una rotación que usted siempre obtendrá $\|B-I_n\|>\sqrt{2}$. pero no estoy seguro de cómo esto se generaliza a dimensiones superiores...
2. la prueba estará completo si usted puede demostrar que $BAB^T=A$...
3. Supongo que el hecho de que $A$ viajes con $BAB^T$ indica que es también en el grupo LO$(n)$, ya que por LO$(n)$ también es una mentira álgebra, pero no estoy seguro de cómo esto le ayudará a obtener el resultado.

de nuevo algo de esto puede estar completamente equivocado, pero tal vez podría ayudarle a empezar a buscar en los lugares correctos para las respuestas...