A menudo se escuchan las palabras "tensión de las cuerdas" en la teoría de las cuerdas. ¿Pero qué significa realmente? En la física ordinaria, la "tensión" en una cuerda clásica ordinaria surge del hecho de que hay elasticidad en el material de la cuerda, que es una consecuencia de la interacción molecular (que es de naturaleza electromagnética). Pero la teoría de cuerdas, al ser el marco más fundamental para plantear preguntas sobre la física (como afirman los teóricos de las cuerdas) no puede dar por sentada dicha elasticidad desde el principio. Así que mi pregunta es, ¿qué significa "tensión" en el contexto de la teoría de cuerdas? Tal vez esta pregunta sea una tontería, pero por favor, no la ignore.
Respuestas
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Una buena pregunta. La tensión de la cuerda en realidad es una tensión, por lo que se puede medir en Newtons (unidades del SI). Recordemos que 1 Newton es 1 Joule por metro, y de hecho, la tensión de la cuerda es la energía por unidad de longitud de la cuerda.
Porque la tensión de la cuerda no está lejos de la tensión de Planck - una energía de Planck por una longitud de Planck o $10^{52}$ Newtons más o menos - es suficiente para encoger la cuerda casi inmediatamente a la distancia más corta posible siempre que sea posible. A diferencia de las cuerdas del piano, las cuerdas de la teoría de cuerdas tienen una longitud propia variable.
Esta distancia mínima, permitida por el principio de incertidumbre, es comparable a la longitud de Planck o a 100 veces la longitud de Planck, que sigue siendo diminuta (aunque existen modelos en los que es mucho más larga).
Para energías tan enormes y velocidades comparables a la de la luz, es necesario apreciar la relatividad especial, incluyendo la $E=mc^2$ famosa ecuación. Esta ecuación dice que la tensión de la cuerda es también igual a la masa de una unidad de longitud de la cuerda (veces $c^2$ ). La cuerda es increíblemente pesada - algo así como $10^{35}$ kg por metro: He dividido la cifra anterior $10^{52}$ por $10^{17}$ que es la velocidad de la luz al cuadrado.
Ecuaciones básicas de la teoría de cuerdas perturbadora
De forma más abstracta, la tensión de la cuerda es el coeficiente de la acción Nambu-Goto para la cuerda. ¿En qué consiste? Bueno, la física clásica puede definirse como el esfuerzo de la Naturaleza por minimizar la acción $S$ . Para una partícula en relatividad especial, $$ S = -m\int d\tau_{proper} $$ es decir, la acción es igual a (menos) la longitud propia de la línea del mundo en el espaciotiempo multiplicada por la masa. Obsérvese que, como la Naturaleza trata de minimizarla, las partículas masivas se moverán a lo largo de las geodésicas (líneas más rectas) en la relatividad general. Si se expande la acción en el límite no relativista, se obtiene $-m\Delta t+\int dt\, mv^2/2$ donde el segundo término es la parte cinética habitual de la acción en mecánica. Eso es porque las líneas curvas en el espacio de Minkowski son más cortas que las rectas.
La teoría de cuerdas trata análogamente del movimiento de objetos unidimensionales en el espaciotiempo. Dejan una historia que parece una superficie bidimensional, la hoja del mundo, que es análoga a la línea del mundo con una dimensión espacial extra. La acción es $$ S_{NG} = -T\int d\tau d\sigma_{proper} $$ donde se supone que la integral representa el área propia de la hoja del mundo en el espacio-tiempo. El coeficiente $T$ es la tensión de la cuerda. Nótese que es como la masa anterior (del caso de la partícula puntual) por unidad de distancia. También puede interpretarse como la acción por unidad de superficie de la hoja del mundo - es lo mismo que la energía por unidad de longitud porque la energía es la acción por unidad de tiempo.
En este momento, cuando entiendas la acción Nambu-Goto anterior, puedes empezar a estudiar los libros de texto de la teoría de cuerdas.
Las cuerdas del piano están hechas de átomos metálicos, a diferencia de las cuerdas fundamentales de la teoría de cuerdas. Pero yo diría que la diferencia más importante es que a las cuerdas de la teoría de cuerdas se les permite -y se les quiere- cambiar su longitud propia. Sin embargo, en todas las demás características, las cuerdas del piano y las de la teoría de cuerdas son mucho más análogas de lo que los principiantes de la teoría de cuerdas suelen querer admitir. En particular, el movimiento interno se describe mediante ecuaciones que pueden llamarse función de onda, al menos en algunas coordenadas propias.
Además, las cuerdas en la teoría de cuerdas son relativistas y en un trozo de hoja de mundo lo suficientemente grande, se preserva la simetría interna SO(1,1) de Lorentz. Por eso una cuerda no sólo lleva una densidad de energía $\rho$ pero también una presión negativa $p=-\rho$ en la dirección a lo largo de la cuerda.
jayeshomg
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