Intento demostrar que la siguiente secuencia converge: $$\sum_{n=2}^{\infty}\ln\left(1+\frac{(-1)^n}{n^p}\right)$$ si y sólo si $p>\frac 12$ .
He visto soluciones a este mismo problema aquí, pero estoy pas buscando una solución general. He tratado de resolver este problema, y no pude continuar mi solución, así que vine aquí para pedir su ayuda sobre cómo continuar.
Mi solución
$(\star)$ He demostrado que dada una secuencia $a_n$ , de tal manera que $\lim_{n\to\infty}a_n=0$ , si: $\sum_{n=1}^{\infty}(a_{2n}+a_{2n+1})$ converge o diverge al infinito, entonces $\sum_{n=2}^{\infty}a_n$ converge o diverge al infinito, respectivamente.
También he comprobado que $\sum_{n=2}^{\infty}\ln\left(1+\frac{(-1)^n}{n^p}\right)$ converge absolutamente por cada $p>1$ converge para $p=1$ y diverge para $p=\frac 12$ . Así que lo que me queda, esencialmente, es demostrar que la serie converge para cada $\frac 12<p<1.$
Podemos ver eso:
$$\sum_{n=1}^{\infty}(a_{2n}+a_{2n+1})\equiv\sum_{n=1}^{\infty}\left(\ln(1+\frac{1}{(2n)^p})+\ln(1-\frac{1}{(2n+1)^p})\right)$$
Como la secuencia es negativa, podemos utilizar la prueba del límite con (después de utilizar las reglas del logaritmo):
$$\frac{(2n)^p-(2n+1)^p+1}{(4n^2+2n)^p}$$
Ahora, por un lado, ya no tengo el logaritmo; pero por otro lado, no sé cómo tratar esta serie. He intentado utilizar de nuevo la prueba del límite con $\frac{1}{n^{2p}}$ pero en vano.
Me gustaría saber cómo continuar con mi solución, o más bien simplificarla. Prefiero utilizar la afirmación que he probado (marcada con $(\star)$ ).
¡Muchas gracias!
