Siempre es un camino diferenciable a través de una secuencia convergente de puntos en $\mathbb{R}^n$ ?

Question

Se me ha ocurrido esta pregunta al intentar resolver un ejercicio vagamente relacionado:

Si $x_n$ es cualquier secuencia de puntos en $\mathbb{R}^n$ con $x_n \longrightarrow 0$ ¿hay un camino $\gamma(t)$ , $\gamma(0)=0$ que pasa por todos los $x_n$ y que es diferenciable en $t=0$ ?

Gracias.

Answer 1

Tal y como está redactado, la respuesta es sí: toma un camino que llene el espacio y adjunta una pieza diferenciable a él. Pero esto no es lo que querías preguntar. La pregunta podría haber sido esta: ¿Existe un camino $\gamma\colon (-1,1)\to\mathbb R^n$ tal que (a) $v=\gamma'(0)$ existe y es distinto de cero; (b) $\gamma(t_n)=x_n$ donde $t_n$ es una secuencia que disminuye hasta $0$ ?

Entonces la respuesta es no. He aquí un ejemplo en dos dimensiones, con vectores base $e_1,e_2$ : $x_n=\frac{1}{n}e_1$ si $n$ es impar y $x_n=\frac{1}{n}e_2$ si $n$ es par. Si $\gamma(t)/t\to v$ como $t\to 0$ entonces $\frac{\gamma(t)}{|\gamma(t)|}\to \frac{v}{|v|}$ . Sin embargo, $\frac{\gamma(t_n)}{|\gamma(t_n)|}$ alterna entre $e_1$ y $e_2$ una contradicción.

Answer 2

En realidad es bastante fácil. Todo lo que necesitamos es una función suave $\sigma : [0,1] \rightarrow [0,1]$ tal que $\sigma|_{[0,1/3]} \equiv 0$ y $\sigma|_{[2/3,1]} \equiv 1$ . Hay numerosas formas de construirlo, por ejemplo, integrando y escalando una función de bache.

Ahora que tenemos eso, vamos a $\gamma_n : [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^n$ sea un camino que va en línea recta desde $x_n$ a $x_{n+1}$ . Entonces el camino definido por $\gamma(t) = \gamma_n(\sigma(2^{n+1} (t - (1 - 2^{-n})))$ para $t \in [1-2^{-n}, 1-2^{-n-1}]$ (asumiendo que el primer punto es $x_0$ ) es suave y hace el truco. Ni siquiera creo que sea necesario que la secuencia sea convergente.

Answer 3

Tal como está escrita, esta respuesta es una especie de sí intuitivo. De hecho, hagamos que el camino sea suave en casi todas partes. Toda la intuición necesaria es creer que si tenemos tres puntos con vectores tangentes prescritos en cada uno, entonces hay un camino suave entre ellos (más o menos - supongo que hay un poco más). Hay algunas maneras de ver esto: podrías restringirte al plano que contiene esos tres puntos y realizar una especie de aproximación quíntica de Hermite (o más cerca, una aproximación tipo curva de Bezier). Podría ser un poco mejor si realmente enderezar la trayectoria en un pequeño barrio alrededor de cada uno de los puntos (lo suficientemente pequeño como para no cruzar los otros barrios), que se puede justificar con un función de choque argumento de estilo. Esto no es necesario, pero quizás facilita la visualización, ya que entonces la afirmación es que se puede "torcer suavemente" una línea para que pase por cualquier punto? (Estoy un poco inseguro de su familiaridad con estas cosas).

Entonces la idea sería empezar con un segmento de recta que pase por el origen, que sea claramente "diferenciable" en el origen. Luego conectar suavemente el segmento de línea con $x_1$ . Y luego a $x_2$ . Y así sucesivamente.

Si eres un simpatizante del camino generalizado, entonces podrías dejar $\gamma$ atraviesan el camino desde $x_n$ a $x_{n+1}$ en el momento $t \in [n, n+1]$ con la idea de que atravesar caminos espalda con espalda sigue siendo un camino. O tal vez usted es un pegajoso, y entonces usted tendrá que hacer esto en algo así como en el tiempo $t \in [1 - 2^{-n}, 1 - 2^{-(n+1)}]$ y atravesando el $n$ a la ruta de acceso en $2^n$ de la tasa (aunque sigue siendo un camino). Si además, acotamos el $n$ en alguna vecindad decreciente del origen (que debería existir como $x_n \to 0$ ), creo que incluso deberíamos poder decir que $\gamma(1) = 0$ .

La idea es que puedas ir avanzando poco a poco para que el camino sea suave en $t \in (0,1)$ con $\gamma (0) = 0$ . Y con esta construcción en particular, $\lim_{t \to 0} \gamma'(t)$ se define, y da la dirección del segmento de línea original. Y el hecho de que $x_n \to 0$ debe significar que nuestro camino debe descender a $0$ también, aunque no hay ninguna posibilidad en el mundo de que sea suave en $t = 1$ .

El camino resultante será un poco torcido, tal vez, pero esto parece razonable en principio.