¿Cómo aplicar el teorema de Riemann-Roch y el teorema de desaparición de Kodaira a un haz de líneas amplio?

Question

Dejemos que $X$ sea una variedad abeliana.

En "Mumford, Variedades Abelianas" el Teorema de Riemann-Roch tiene la siguiente forma:

Para todos los haces de líneas $\mathcal{L}$ en $X$ , si $\mathcal{L}\cong\mathcal{O}_X(D)$ tenemos $\chi(\mathcal{L})=\frac{(D^g)}{g!}$ , $\chi(\mathcal{L})^2=\deg\phi_\mathcal{L}$ , donde $(D^g)$ es el $g$ -número de auto-intersección de $D$ .

Me han dicho ( aquí y aquí ) que debería utilizar esta forma del Teorema de Riemann-Roch y el Teorema de Fuga de Kodaira para demostrar los siguientes resultados equivalentes:

• $\mathcal{L}$ implica ampliamente $\dim H^0(X,\mathcal{L})>0$ ;
• $\mathcal{L}$ implica ampliamente $i(\mathcal{L})=0$ .

Donde $i(\mathcal{L})$ proviene del Teorema de la Fuga de Mumford:

Dejemos que $\mathcal{L}$ sea un haz de líneas en $X$ tal que $K(\mathcal{L})$ es finito. Existe un único número entero $i=i(\mathcal{L})$ , $0\leq i(\mathcal{L})\leq g=\dim X$ , de tal manera que $H^p(X,\mathcal{L})=(0)$ para $p\neq i$ y $H^i(X,\mathcal{L})\neq (0)$ .

¿Puede alguien darme más detalles de cómo hacerlo? Gracias.

Answer 1

Dejemos que $L$ sea un haz de líneas amplio sobre una variedad abeliana $X$ de dimensión $g$ . Entonces, por la desaparición de Kodaira vemos que $H^i(X,L)=H^i(X,\omega_X\otimes L)=0$ para todos $i>0$ . En particular $\chi(X,L)=\sum_{i=0}^g(-1)^i h^i(X,L)=h^0(X,L)$ . Ahora bien, como $L$ es amplia también sabemos que $(L^g)\ne 0$ y entonces Riemann-Roch implica que $h^0(X,L)\ne 0$ .