¿Es la derivada de Radon-Nikodym con respecto a una medida finita de valor real a.e.?

Question

Esta pregunta viene de esta pregunta . En la respuesta se omitió el argumento de que la derivada de Radon-Nikodym es de valor real a.e. Sin esto, la prueba en esa respuesta tiene fallas porque o bien la suma de $f_n$ no es igual a $f$ (a.e.) o la medida corresponde a $+\infty$ no es finito. La siguiente es una formulación completa de mi pregunta.

En un espacio medible arbitrario $(E,\mathcal{E})$ , $\mu\ll\nu$ y $\nu$ es una medida finita. Sea $p$ denotan la derivada de Radon-Nikodym $d\mu/d\nu$ . Demostrar que $p$ es de valor real $\nu$ -casi en todas partes.

No puedo encontrar ninguna manera de excluir el caso de que $\nu(\{x\in E|p(x)=+\infty\})=0$ . ¿Pueden ayudarme a demostrar que esta medida es cero? Muchas gracias.

Answer 1

La aplicación del Teorema de Radon Nikodym requiere la finitud sigma de $\mu$ . Bajo esta condición podemos argumentar lo siguiente: Sea $\mu(A_n) <\infty$ y $X =\cup_n A_n$ . Entonces $\int_{A_n} fd\nu <\infty$ así que $f <\infty$ a.e. $[\nu]$ sobre $A_n$ . Esto es cierto para cada $n$ y por lo tanto $f <\infty$ casi en todas partes $[\nu]$ .

Un contraejemplo: Sea $X=\mathbb N$ , $\mu (\emptyset)=0$ y $\mu (E)=\infty$ para todos los subconjuntos no vacíos de $X$ . Sea $\nu (E)=\sum_{n \in E} \frac 1 {2^{n}}$ . Entonces $\nu$ es una medida finita y $\mu <<\nu$ . Si existe $f$ tal que $\mu(E)=\int_Efd\nu$ para todos $E$ entonces $\infty=\mu(\{n\})=\int_{\{n\}}fd\nu=f(n) \frac 1 {2^n}$ Así que $f(n)=\infty$ para todos $n$ .