Supongamos que me dan un morfismo de esquemas $f: X \longrightarrow Y$ y supongamos que para cualquier punto $y \in Y$ , $\kappa(y)$ denota el campo de residuos. Me gustaría demostrar que el producto fibrado $$X \times_{Y} \text{Spec}(\kappa(y))$$ es homeomorfo a la preimagen $f^{-1}(y)$ en la topología inducida.
El siguiente es mi intento hasta ahora:
La cuestión es obviamente afín en el objetivo, así que sin pérdida de generalidad reducimos al caso de un morfismo $f: X \longrightarrow \text{Spec }A$ . Entonces tenemos $$ f^{-1}(\text{Spec }A) = \bigcup_{i \in I} \text{Spec }B_{i} $$ mediante morfismos $$ \phi_{i}: A \longrightarrow B_{i}. $$ Podemos entonces escribir, \begin{align*} f^{-1}(\text{Spec } A) \times_{\text{Spec } A}\text{Spec } \kappa(y) &= \bigcup_{i \in I} \left( \text{Spec } B_{i} \times_{\text{Spec }A} \text{Spec }\kappa(y) \right) \\ &= \bigcup_{i \in I} \text{Spec } \left( B_{i} \otimes_{A} \kappa(y) \right). \end{align*} Ahora dejemos que $\mathfrak{p}$ sea el ideal primo de $A$ correspondiente al punto $y \in \text{Spec } A$ . Entonces $\kappa(y) = (A/ \mathfrak{p})_{\mathfrak{p}}$ . Entonces, para cualquiera de los $B$ (suprimiendo el índice por razones de brevedad), tenemos \begin{align*} B\otimes_{A} (A/ \mathfrak{p})_{\mathfrak{p}} &\simeq B \otimes_{A} A / \mathfrak{p} \otimes_{A} A_{\mathfrak{p}} \\ &\simeq B_{\mathfrak{p}} \otimes_{A} A / \mathfrak{p} \\ & \simeq B_{\mathfrak{p}} / \mathfrak{p}B_{\mathfrak{p}} \end{align*}
Ahora los ideales primos en $B_{\mathfrak{p}} / \mathfrak{p}B_{\mathfrak{p}}$ corresponden precisamente a los ideales primos de $B_{\mathfrak{p}}$ que contiene $\mathfrak{p}B_{\mathfrak{p}}$ . Además, los ideales primos de $B_{\mathfrak{p}}$ corresponden precisamente a los ideales primos de $B$ contenida en $\phi(\mathfrak{p})B$ . Es decir, tenemos \begin{align} \text{Spec }B_{\mathfrak{p}} &= \{ \mathfrak{q} \subseteq B : \phi^{-1}(\mathfrak{q}) \subseteq \mathfrak{p} \} \\ &= \{ \mathfrak{q} \subseteq B : f(\mathfrak{\mathfrak{q}}) \subseteq \mathfrak{p} \}. \end{align} Nótese que en la última línea hemos abusado ligeramente de la notación: En realidad no hay ninguna noción de estar "dentro" $\mathfrak{p}$ cuando se trata de un punto en el esquema. Así que realmente queremos decir que $f(\mathfrak{q})$ es un punto del esquema cuyo ideal primo correspondiente es un subconjunto de $\mathfrak{p}$ . Ahora bien, como dijimos anteriormente, los ideales primos de $B_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{p}B_{\mathfrak{p}}$ son los siguientes $$ \text{Spec }(B_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{p}B_{\mathfrak{p}}) = \{ \mathfrak{q} \subseteq B : f(\mathfrak{\mathfrak{q}}) \subseteq \mathfrak{p} \text{ and } ??? \} $$ Este es el punto en el que me quedo atascado. Idealmente me gustaría argumentar a partir de la afirmación "Ahora los ideales primos en $B_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{p}B_{\mathfrak{p}}$ corresponden precisamente a los ideales primos de $B_{\mathfrak{p}}$ que contiene $\mathfrak{p}B_{\mathfrak{p}}$ " para concluir que los signos de interrogación son la condición $\mathfrak{p} \subseteq f(\mathfrak{q})$ . ¿Podría alguien indicarme cómo conseguir esta condición?
¿Son correctas las pruebas hasta este punto? Las diferentes fuentes en línea parecen hacer esto de muchas maneras diferentes, por lo que es difícil para mí para comprobar.
