Pregunta sobre el equilibrio nash mixto

Question

La pregunta es la siguiente:

Piensa en el juego del Balón de Oro. Ahora el jugador 1 es celoso y tiene dinero, y el jugador 2 tiene muy buen corazón, por lo que la matriz de pagos es la siguiente:

                  Player 2
                SP      ST

Jugador 1 SP ............. 5, 5..........-2, -1

      ST     10, -1     0, -1

Los puntos son sólo para que la matriz esté ordenada.

a. Resuelva todos los equilibrios mixtos de Nash, si los hay. b. Entre los cuatro resultados aquí, ¿qué resultado(s) es(son) óptimo(s) de Pareto (en el sentido de que no se puede encontrar otro resultado que haga que ningún jugador esté peor pero que algún jugador esté mejor)?

Para un, creo que la respuesta es No, pero no sé cómo responder.

Simplemente creo que el SP está estrictamente dominado por el ST para el jugador 1, y ST está débilmente dominado por SP para el jugador 2. Eso es todo lo que pude deducir inmediatamente. Por lo tanto, el jugador 1 debería haber elegido ST como su estrategia pura, y si el jugador 1 elige ST, el jugador 2 sería indiferente a la hora de elegir SP y ST ya que le dan la misma recompensa -1.

Así que (10,-1) debería ser uno de los equilibrios nash pero entonces, descubro que (0,-1) también debería ser el equilibrio nash ya que tanto el jugador 1 como el 2 no podrían desviarse de forma rentable de este resultado.

Después de una larga explicación, todavía no he resuelto el equilibrio nash mixto, y estoy atascado aquí. Intento usar el cálculo para encontrar la estrategia mixta para ambos jugadores, pero no he podido calcular la distribución de probabilidad para ambos, ya que la incógnita que he puesto se anula o tiene probabilidad negativa.

Para b, creo que la respuesta para esto no es relevante para a, así que trato de resolverlo.

Creo que el resultado óptimo de pareto debería ser (10,-1) y no (0,-1), aunque ambos satisfacen lo que la pregunta da por óptimo de pareto, al jugador 1 le conviene tener 10 en lugar de 0 y quisiera forzar al jugador 2 a elegir SP. Por eso elijo (10,-1).

Pero no estoy seguro de ello.

¡Espero que alguien pueda ayudar! Muchas gracias.

Answer 1

Su explicación sobre el dominio estricto de ST sobre SP para el jugador 1 es correcta. Por lo tanto, SP no puede ser la mejor respuesta para este jugador y, por lo tanto, no puede formar parte de ningún equilibrio de Nash (ya sea en estrategias puras o mixtas). Esto nos deja con el jugador 1 eligiendo ST con probabilidad uno en cualquier equilibrio de Nash.

Ahora, el jugador 2. Como el jugador 2 es indiferente entre jugar ST o SP cuando espera que el jugador 1 juegue ST, su mejor respuesta es jugar ST con cualquier probabilidad entre 0 y 1. Supongamos que elige jugar ST con probabilidad 1/2. Entonces, la mejor respuesta del jugador 1 es jugar a ST y, dada su indiferencia, la mejor respuesta del jugador 2 es jugar a ST con probabilidad media. Por lo tanto, jugar a ST con seguridad para el jugador 1 y jugar a ST con probabilidad media para el jugador 2 es un equilibrio de Nash para su juego. Como lo anterior es cierto para cualquier probabilidad entre 0 y 1, concluimos que jugar ST seguro para el jugador 1 y jugar ST con cualquier probabilidad entre 0 y 1 describe todo el conjunto de equilibrios de Nash de estrategia mixta del juego.

Para la parte b), el único resultado que no se puede considerar óptimo de Pareto es (SP,ST) porque pasar a (ST,SP) mejora al jugador 1 sin perjudicar al jugador 2. De los 3 restantes, cualquiera de ellos satisface la definición de óptimo de Pareto dada en la pregunta. Sin embargo, obsérvese que (SP,SP) tiene la característica adicional de que la suma de los pagos es la más alta.