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Sean a, b, c reales no negativos con $a^ 2 + b^ 2 + c^ 2 + abc = 4$ . Demostrar que $0 ≤ ab + bc + ca − abc ≤ 2$

Sean a, b, c reales no negativos con $a^ 2 + b^ 2 + c^ 2 + abc = 4$ . Demostrar que $0 ab + bc + ca abc 2$

Definimos $$U=[(a,b,c)|a,b,c>0; a^2+b^2+c^2<1000]$$ Se trata de la intersección de conjuntos abiertos. Por lo tanto, es abierto. Su cierre es $$ \bar{U}=[a,b,c|a,b,c\geq{0};a^2+b^2+c^2 \leq{1000}] $$ Aquí el conjunto de restricciones es $$\bar{S}=[x \in \bar{U}|g(x)=4]$$ es compacto cuando $g(a,b,c)=a^2+b^2+c^2+abc$

Definir $$f(a,b,c)=a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca$$ Es equivalente a demostrar que $f \leq 6$ sujeto a g. Más de $\bar{S}$ debe alcanzar un máximo global.

Si $x$ se encuentra en el límite, lo que significa que uno de sus componentes es cero. Mi pregunta es ¿por qué es así que uno de los componentes debe ser cero?

Fuente de la pregunta: Asesores de Lagrange hechos correctamente por Evan Chen (página 5)

Mi experiencia con el cálculo: Sé lo que son las derivadas e integrales y conozco algunas aplicaciones de las derivadas e integrales.

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Asesinato ¿alicates?

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Ese es el título dado por Even Chen

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Creo que la fuente de la pregunta describe completamente por qué debe tener un componente cero. Piensa en $\overline{U}$ .

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River Li Puntos 101

El límite aquí es el conjunto $$S_1 = \{x\in \bar{U} - U | g(x) = 4\}.$$ Por lo tanto, es sólo $a = 0, g(x) = 4$ o $b = 0, g(x) = 4$ o $c = 0, g(x) = 4$ , o $a^2 + b^2 + c^2 = 1000, g(x) = 4$ . Esto último es imposible.

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¿Significa eso que el caso en el que dos de a y b son cero también se encuentra en el límite?

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@Has Sí. Pero sólo tenemos que considerar $a = 0$ para probar el caso.

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Oh ya veo el caso donde dos de ellos son 0 parece demasiado trivial para considerarlo.

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