¿Qué son los nodos angulares y radiales?

Question

Los nodos son los puntos en el espacio alrededor de un núcleo donde la probabilidad de encontrar un electrón es cero. Sin embargo, he oído que hay dos tipos de nodos, nodos radiales y nodos angulares . ¿Qué son y qué información proporcionan de un átomo?

Answer 1

La respuesta aceptada tiene bonitas imágenes, pero tiene un par de pequeñas inexactitudes fácticas en el último párrafo. En particular, no es necesario que un nodo angular sea un plano (aunque frecuentemente lo sea). Aquí hay un poco más de matemáticas para ilustrar lo que sucede.

Los orbitales atómicos, que son funciones de onda de un electrón, se dividen en dos componentes: las funciones de onda radial y angular

$$\psi_{nlm}(r,\theta,\phi) = R_{nl}(r)Y_{lm}(\theta,\phi)$$

llamados así porque sólo tienen radial ( $r$ ) y angular ( $\theta$ , $\phi$ ) respectivamente. Si cualquiera de estas dos componentes es cero, la función de onda total es cero y la densidad de probabilidad allí (dada por $\psi^*\psi$ ) también es cero.

Un nodo radial se produce cuando la función de onda radial es igual a cero. Como la función de onda radial sólo depende de $r$ Esto significa que cada nodo radial corresponde a un valor particular de $r$ . (La función de onda radial puede ser cero cuando $r = 0$ o $r \to \infty$ pero estos no se cuentan como nodos radiales).

Análogamente, un nodo angular es simplemente una región donde la función de onda angular es cero.* En el caso de los orbitales p, se trata de un plano. Sin embargo, los nodos angulares no necesariamente tienen que ser aviones, como veremos más adelante.

El número de nodos radiales y angulares viene dictado por las formas de las funciones de onda, que se obtienen resolviendo la ecuación de Schrodinger. Para un orbital dado con números cuánticos $(n,l)$ Hay $n-l-1$ nodos radiales y $l$ nodos angulares, como se ha descrito anteriormente.

Un ejemplo

Veamos una de las funciones de onda 3d del hidrógeno con $(n,l) = (3,2)$ . $a_0$ es el Radio de Bohr del átomo de hidrógeno. Es de esperar que $3-2-1 = 0$ nodos radiales y $2$ nodos angulares.

$$\mathrm{3d}_{z^2} = \underbrace{\left[\frac{4}{81\sqrt{30}}a_0^{-3/2}\left(\frac{r}{a_0}\right)^2 \exp{\left(-\frac{r}{3a_0}\right)}\right]}_{\color{blue}{\large \text{radial: }R_{32}}} \underbrace{\left[\sqrt{\frac{5}{16\pi}}(3\cos^2\theta - 1)\right]}_{\color{red}{\large \text{angular: }Y_{20}}}$$

Todos los términos individuales de la función de onda radial nunca pueden ser cero (excluyendo los casos de $r = 0$ o $r \to \infty$ como he descrito anteriormente). Por lo tanto, este orbital no tiene nodos radiales. Sorpresa, sorpresa.

Los nodos angulares son más interesantes. La función de onda angular desaparece cuando $3 \cos^2\theta - 1 = 0$ . Desde $\theta$ toma valores entre $0^\circ$ y $180^\circ$ Esto corresponde a las dos soluciones $\theta = 54.7^\circ, 125.3^\circ$ . Ambas soluciones son nodos angulares. Así es como se ven:

Las líneas de puntos son los nodos angulares. No son planos, sino conos . Corresponden a un valor particular de $\theta$ que en coordenadas esféricas es el ángulo formado con el positivo $z$ -eje; he marcado estos ángulos en el diagrama.

Si se pueden obtener las formas de las funciones de onda, entonces es fácil encontrar los nodos radiales. Mark Winter en Sheffield tiene un gran sitio web para ello; sólo tienes que hacer clic en el orbital que quieras a la izquierda, y luego en "Ecuaciones", cerca de la esquina superior derecha.

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Nota a pie de página

* Si nos atenemos a los orbitales atómicos complejos, que son eigenfunciones simultáneas de $H$ , $L^2$ y $L_z$ entonces la dependencia de $\phi$ es siempre de la forma $e^{\pm im\phi}$ que nunca puede ser cero, por lo que los nodos angulares nunca surgen debido a $\phi$ -dependencia. Sin embargo, los nodos radiales y angulares se discuten más comúnmente en el contexto de orbitales atómicos reales obtenidos por combinación lineal de los armónicos esféricos. Estos tienen nodos angulares que dependen de $\theta$ y $\phi$ pero a menudo son mucho más simples de expresar en términos de coordenadas cartesianas $(x,y,z)$ (ejemplos obvios son el $\mathrm{2p}_x$ y $\mathrm{2p}_y$ orbitales). El $\mathrm{3d}_{z^2}$ El orbital es una excepción que se eligió deliberadamente como ejemplo porque sus nodos angulares no son planos.

Answer 2

1. Cómo obtener el número y el tipo de nodos de una órbita

Como has dicho, los nodos son puntos de densidad electrónica cero. Desde el número cuántico principal $n$ y el número cuántico azimutal $\ell$ se puede deducir el número de nodos y cuántos de ellos son radial y angular .

$$\text{number of nodes}=n-1$$

$$\text{angular nodes}=\ell$$

$$\text{radial nodes}=(\text{number of nodes})-(\text{angular nodes})$$

Así, cada tipo de orbital ( $s, p, d$ etc) tiene su propio y único número de nodos angulares, y entonces como $n$ aumenta, se añaden nodos radiales.

Ejemplos: Primera cáscara

Para la primera cáscara, $n=1$ , lo que significa que el número de nodos será 0.

Ejemplos: Segunda cáscara

Para la segunda cáscara, $n=2$ que da lugar a 1 nodo.

• Para el $2s$ orbital, $\ell = 0$ lo que significa que el nodo será radial
• Para el $2p$ orbital, $\ell = 1$ lo que significa que el nodo será angular

Ejemplos: Tercera cáscara

El tercer caparazón, $n=3$ , dando como resultado $3-1=2$ nodos.

• Le site $3s$ orbital todavía tiene $\ell = 0$ lo que significa que no hay nodos angulares, y por lo tanto los dos nodos deben ser radiales
• Le site $3p$ la órbita sigue teniendo un nodo angular, lo que significa que también habrá un nodo radial
• Le site $3d$ La órbita tiene dos nodos angulares y, por lo tanto, ¡no tiene nodos radiales!

2. La diferencia entre radial y angular nodos

Los nodos radiales son nodos dentro de los lóbulos orbitales por lo que puedo entender. Es más fácil de entender mirando el $s$ -orbitales, que sólo pueden tener nodos radiales.

Para ver qué es un nodo angular, entonces, examinemos el $2p$ -orbital - un orbital que tiene un nodo, y ese nodo es angular.

Vemos que los nodos angulares no son contornos internos de probabilidad 0 del electrón, sino que es un plano que atraviesa el orbital. Para el $2p_\text{z}$ -orbital, el nodo angular es el plano abarcado por los ejes x e y. Para el $2p_\text{y}$ -orbital, el nodo angular es el plano abarcado por los ejes z y x.

Answer 3

Si se hace vibrar un trozo de cuerda, es bastante fácil demostrar que aparecerán nodos, y cuando se producen ondas estacionarias los nodos se fijan en el espacio y el tiempo. Entre los nodos, la cuerda oscila hacia arriba y hacia abajo. Los n $^{th}$ armónico tiene $n-1$ nodos. Cuantos más nodos haya, mayor será la energía necesaria para producirlos. En una membrana rectangular vibrante se producen líneas nodales y en un disco vibrante anillos nodales. Las líneas nodales, cuya amplitud es cero, separan los modos vibratorios normales.

Lo mismo ocurre con los átomos y las moléculas. Los nodos son puntos en los que la función de onda cruza el cero, y su amplitud es cero. Los puntos en los que la función de onda se aproxima gradualmente a cero (en el origen o en el infinito) no se consideran nodos. Los nodos aparecen naturalmente en todas las soluciones de la ecuación de Schrodinger, incluso para sistemas simples como una partícula en una caja. No todas las funciones de onda tienen nodos, la de menor energía no los tiene, (por ejemplo, el orbital S en los átomos, el punto de vibración cero y la rotación cero en las moléculas, la MO más baja en una molécula). Cuanto mayor sea el número de nodos de una función de onda, mayor será el valor propio de energía. Algunas imágenes de las funciones de onda y los nodos se han dado en la respuesta de @Brian.

No parece haber ningún significado especial para un nodo, surge puramente de la solución de la ecuación de Schrodinger y es una consecuencia de las soluciones (por lo tanto, las condiciones de contorno) que elegimos para obtener la cuantificación. Sin los nodos es difícil ver cómo se pueden construir las funciones de onda que describen diferentes valores propios de energía.

Ampliar brevemente la pregunta para incluir la formación de enlaces. En la formación de enlaces a partir de orbitales atómicos es importante la paridad de la función de onda. Al intercambiar las coordenadas, es decir, el operador de inversión, la paridad impar (ungerade, u) produce el propio -1 y la paridad par (gerade, g)deja el orbital indistinto. El nodo en un p orbital hace que tenga paridad impar, como s orbital incluso. La simetría (paridad) determina si dos orbitales pueden combinarse para formar un orbital de enlace o uno de antienlace, por ejemplo $\sigma$ o $\sigma ^*$ o $\pi$ o $\pi ^*$ . Los orbitales antienlazados siempre tienen nodos.
Los planos nodales también son importantes en la adición Diels Alder y reacciones similares, ya que aquí la simetría es importante. En las transiciones espectroscópicas de las moléculas, la estructura nodal de los orbitales moleculares determina, a través de la simetría, qué transiciones están permitidas o prohibidas.