Convergencia en la distribución e integración

Question

Dejemos que $X_n\in\mathbb{R}$ con $n\in\mathbb{N}$ sea una secuencia de variables aleatorias que convergen en su distribución a $X$ . Entonces, para cualquier función Lipschitz acotada $f$ tenemos que $\lim_{n\rightarrow\infty}E[f(X_n)]=E[f(X)]$ .

¿Podemos demostrar que $$\lim_{n\rightarrow\infty} \int_0^\infty E[g(y,X_n)]dy = \int_0^\infty E[g(y,X)]dy$$ donde $g$ es una función Lipschitz acotada con $\int_0^\infty g(y,x)dy<\infty$ para cualquier $x$ .

Si no, qué condiciones adicionales son necesarias.

Answer 1

He aquí un contraejemplo (modificado a partir de mis comentarios): Tomemos el caso determinista $X=0, X_n=1/n$ para $n \in \{1, 2, 3, ...\}$ .

Será más fácil definir $g(x,y)$ sobre el dominio $D = \{(x,y): x \in [0,1], y\geq 0\}$ : $$g(x,y)=xe^{-xy} \quad \forall (x,y) \in D$$ Entonces: $$\int_{0}^{\infty} g(x,y)dy = \left\{ \begin{array}{ll} 0 &\mbox{ if $x =0$} \\ 1 & \mbox{ if $x>0$} \end{array} \right.$$ Así, $$\int_0^{\infty} g(X,y)dy =0$$ Pero $$\int_0^{\infty} g(X_n, y)dy = 1 \quad \forall n \in \{1, 2, 3, ...\}$$ Nota $g$ está acotado porque $0\leq g(x,y)\leq 1$ para todos $(x,y)\in D$ . Por último, hay que tener en cuenta que $g$ es continua de Lipschitz (véase la nota siguiente). $\Box$

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Nota: Para mostrar $g$ es Lipschitz observamos que es continuamente diferenciable y para todo $(x,y) \in D$ : $$[\partial g/\partial x; \partial g/\partial y] = [(1-xy)e^{-xy}; -x^2e^{-xy}]$$ y así $$\begin{align} ||[\partial g/\partial x; \partial g/\partial y]||^2&= (1-xy)^2e^{-2xy} + x^4e^{-2xy}\\ &\overset{(a)}{\leq} (1-xy)^2e^{-2xy} + e^{-2xy}\\ &\overset{(b)}{\leq} \sup_{t\geq 0} \left\{(1-t)^2e^{-2t} + e^{-2t}\right\}\\ &\overset{(c)}= 2 \end{align}$$ donde (a) se mantiene porque $x \in [0,1]$ así que $x^4\leq 1$ (b) se mantiene porque $xy \geq 0$ (c) se mantiene porque el supremum se alcanza en $t=0$ .