La conjetura de motivación de Simpson

Question

Mi pregunta es sobre la conjetura de motivación de Simpson, es decir, la conjetura de que para cualquier conexión irreducible (cohomogénicamente) rígida $(M,\nabla)$ en un esquema complejo suave $X$ es de origen geométrico en el sentido de que existe $Y\overset{f}{\to}X$ tal que $(M,\nabla)$ es un subcociente de $R^nf_*\mathcal{O}_Y$ con la conexión Gauss-Manin.

Mi pregunta principal puede plantearse como "¿por qué deberíamos creerlo?". Soy consciente de que las predicciones de esta conjetura han sido probadas, por ejemplo por H.Ésnault y sus colaboradores. Me interesaría más un criterio de "verosimilitud". Por ejemplo, hay algunos argumentos de la teoría de la deformación que explican por qué la conjetura de Fontaine-Mazur debería mantenerse (elijo F-M porque tiene una "forma" muy similar). Teniendo en cuenta que esto proviene del trabajo de Simpson sobre la teoría de Hodge no abeliana, es de suponer que hay una razón teórica de Hodge no abeliana para esperar la validez de esta conjetura...

Además, ¿hasta qué punto esperamos que esta conjetura sea "aguda"? ¿Sabemos que los subcocientes de las conexiones de Gauss-Manin son rígidos?

Answer 1

Cuando Simpson formuló su conjetura, había demostrado que los sistemas locales rígidos corresponden a variaciones racionales (en un sentido adecuado) de la estructura de Hodge. Y, como señalas, ahora sabemos que son integrales (Esnault-Groechenig). Así que los sistemas locales rígidos tienen muchas de las características de los sistemas locales geométricos.

En cuanto a tus otras preguntas, los sistemas locales geométricos, o sus subcotientes (que serían los sumandos racionales), no tienen por qué ser rígidos.

Answer 2

No estoy seguro de que este sea el tipo de prueba que buscas, pero ya que mencionas la conjetura de Fontaine-Mazur, permíteme comentar que la versión relativa de la conjetura de Fontaine-Mazur implica la conjetura de motivicidad de Simpson.

Un sistema local irreducible rígido, en particular, es aritmético: se extiende a un sistema local etale en el descenso de su variedad compleja a algún campo finitamente generado. Este es el Teorema 4 de la obra de Simpson http://www.numdam.org/article/PMIHES_1992__75__5_0.pdf (nótese que todo sistema local de origen geométrico es aritmético, por un argumento de extensión).

Ahora, se puede demostrar que para cualquier sistema local aritmético irreducible, la extensión a un sistema local etale sobre un campo finitamente generado puede ser elegida para satisfacer los supuestos de la conjetura relativa de Fontaine-Mazur (por ejemplo, tal como fue formulada por Liu y Zhu aquí https://arxiv.org/abs/1602.06282 ) -- esto se deduce del resultado principal de https://arxiv.org/abs/2012.13372 Véase el lema 6.2 para esta afirmación en particular.

Esta deducción de la conjetura de Simpson a partir de la conjetura de Fontaine-Mazur también se describe en la última página del documento https://arxiv.org/abs/2101.00487 por Esnault y Kerz.