¿Cuándo es $\sum_{k=1}^{n} \sin(a k + f(k))$ limitado para $a \in \mathbb{R}$ , $f(k) = o(k)$ ?

Question

La suma es claramente limitado para $a = 1, f(k) = 0$ Pero, ¿qué pasa con los demás?

Usando el software Mathematica, observé que las sumas parciales $\sum_{k=1}^{n} \sin(k + \log k)$ y $\sum_{k=1}^{n} \sin(k + \sin k)$ pueden estar acotados, ya que lo parecían para $n$ hasta $10^7$ (sin embargo, esto en realidad no probar nada).

¿Cuáles son las condiciones de $a \in \mathbb{R}$ y $f(k)= o(k)$ que haría $\sum_{k=1}^{n} \sin(a k + f(k))$ ¿limitado?

Cuando $a \in \pi \mathbb{Q}$ Podría reescribir $a$ como $a = \frac{p}{q} \pi$ , donde $p$ y $q$ enteros que son coprimos. Entonces:

$$\begin{aligned} \sum_{k=1}^{n} \sin(a k + f(k)) &= \sum_{k=1}^{n} \sin(\frac{p}{q} \pi k + f(k)) \\ &= \sum_{a=1}^{2q} \sum_{b=0}^{\lfloor \frac{n - a}{2q} \rfloor} \sin(\frac{(a + 2 q b) p \pi}{q} + f(a + 2 q b)) \\ &= \sum_{a=1}^{2q} \sum_{b=0}^{\lfloor \frac{n - a}{2q} \rfloor} \sin(\frac{a p \pi}{q} + f(a + 2 q b)) \end{aligned}$$

Entonces lo anterior es una suma de algunos $\sum \sin(g(k))$ con $g(k) = o(k)$ para poder considerarlos individualmente.

¿Y si $a \not \in \pi \mathbb{Q}$ ? Es decir, cuando $a k$ es equidistribuido módulo $2 \pi$ ?

Answer 1

No es una buena encuadernación

$$\sum \sin(ak+f(k))=\sum \sin(ak)\cos(f(k))+\sum \cos(ak)\sin(f(k))$$

Si $f(k)=C+o(1)$ entonces $$\cos f(k)=\cos C\cos o(1)-\sin C\sin o(1)=\cos C+o(1)$$

$$\sin f(k)=\sin C\cos o(1)+\cos C\sin o(1)=\sin C+o(1)$$

Al saber que $\sum^n\sin ak$ y $\sum^n\cos ak$ está acotada, la suma original también lo está.

Answer 2

Prueba con $a=0, f(k)=1/k$ . Diverge.