Quieres entender cómo se simplifica una fracción

Question

La fracción se utiliza para determinar la suma de una serie telescópica. $$\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{(k+1)\sqrt{k}+k\sqrt{k+1}}$$ Esta es la fracción resuelta. $$\frac{1}{(k+1)\sqrt{k}+k\sqrt{k+1}} = \frac{(k+1)\sqrt{k}-k\sqrt{k+1}}{(k+1)^2k-k^2(k+1)} = \frac{(k+1)\sqrt{k}-k\sqrt{k+1}}{k^3+2k^2+k-k^3-k^2} = \frac{(k+1)\sqrt{k}-k\sqrt{k+1}}{k(k+1)} = \frac{\sqrt{k}}{k}-\frac{\sqrt{k+1}}{k+1} = \frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}}$$

Quiero entender lo que se hace en cada paso, principalmente los tres últimos. Gracias.

Answer 1

• Primera igualdad: multiplicar y dividir por $(k+1)\sqrt k-k\sqrt{k+1}$

• Segunda igualdad: Expandir el denominador

• Tercera igualdad: cancelar los términos obvios en el denominador y escribir $k^2+k=k(k+1)$ .

• Cuarta igualdad: distribuir a lo largo del menos en el numerador, y cancelar los factores obvios $(k+1)$ en el primer sumando, y $k$ en el segundo: $$ \frac{(k+1)\sqrt{k}-k\sqrt{k+1}}{k(k+1)} =\frac{(k+1)\sqrt{k}}{k(k+1)}-\frac{k\sqrt{k+1}}{k(k+1)} =\frac{\sqrt k}k-\frac{\sqrt{k+1}}{k+1}. $$

• Quinto igual: $\frac{\sqrt k}{k}=\frac1{\sqrt k}$ y de forma similar para $k+1$ .

Answer 2

Otra forma de verlo es primero "desordenando" la expresión, ya que todos esos radicales ofuscan la estructura simple. Dejemos que $a=\sqrt{k}\,$ , $b=\sqrt{k+1}\,$ Entonces:

$$\frac{1}{(k+1)\sqrt{k}+k\sqrt{k+1}} = \frac{1}{ab^2+a^2b}=\frac{1}{ab(a+b)}$$

Ahora considere que $\require{cancel}\,(b+a)(b-a)=b^2-a^2=(\cancel{k}+1)-\cancel{k}=1\,$ Así que $\,\dfrac{1}{a+b}=b-a\,$ . Entonces:

$$\frac{1}{ab(a+b)}=\dfrac{b-a}{ab}=\dfrac{\cancel{b}}{a\cancel{b}}-\dfrac{\bcancel{a}}{\bcancel{a}b}=\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{\sqrt{k}}-\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}$$