Cierre del lugar de los polinomios que desaparecen en un orden dado en dos puntos

Question

Tengo una pregunta elemental sobre los ceros de los polinomios, que debe ser conocida.

Fijar un campo base $k$ (se puede suponer que es la característica cero, si eso supone una diferencia). Consideremos el espacio afín $P_n \times \mathbb A^1_k$ , donde $P_n$ denota el espacio de polinomios de grado $n$ en $k$ (así $P_n$ es un espacio afín de dimensión $n+1$ dado por los coeficientes).

Dado $p \in P_n$ y $z \in k$ , dejemos que $ord_z(p)$ denotan el orden de fuga del polinomio $p$ en $z$ .

Arreglar $m \in \mathbb N$ y considerar el subconjunto cerrado de $X_m \subset P_n \times \mathbb A^\times$ dado como $$X_m := \{ (p,s) : ord_s(p) + ord_0(p) \ge m \}$$ En otras palabras, estudiamos aquellos polinomios cuyos órdenes de fuga en $0$ y $s$ suman al menos $m$ (donde $s$ es distinto de cero). Entonces tomo $\overline{X_m} \subset P_n \times \mathbb A$ .

Pregunta: ¿Es cierto que $\overline{X_m} \cap P_n \times \{0\}$ consiste en aquellos polinomios que desaparecen en el orden de al menos $m$ en $0$ ?

Esto es sólo una cuestión de teoría de conjuntos. Teóricamente, esta afirmación parece ser falsa.

Answer 1

Para un anillo conmutativo $R$ , escriba $P_{n,R}$ para el afín $(n+1)$ -espacio de polinomios de grado $\leq n$ en $R$ . En otras palabras, su $S$ -puntos para un $R$ -Álgebra $S$ vienen dadas por $S[x]_{\leq n}$ . Tenga en cuenta que $P_{n,R} = P_{n,\mathbf Z} \times \operatorname{Spec} R$ .

Lema. Dejemos que $R$ sea un dominio, y $g \in R[x]$ un polinomio mónico de grado $d$ . Entonces el mapa $$\begin{align*} \phi \colon P_{n,R} &\to P_{n+d,R} \\ f &\mapsto fg \end{align*}$$ es una inmersión cerrada. Para cualquier $R$ -Álgebra $S$ El $S$ -puntos de la imagen de $\phi$ son los polinomios en $S[x]$ que son divisibles por $g$ .

Prueba. Ambos $P_{n,R}$ y $P_{n+d,R}$ son espacios afines sobre $R$ y $\phi$ es un mapa lineal con un núcleo trivial fibroso. Dicho mapa es una inmersión cerrada (ejercicio), y la segunda afirmación es obvia. $\square$

Aplicando esto a $R = k[s]$ y $g = x^i(x-s)^j$ para $i+j = m$ vemos que el locus $$Z_{i,j} := \left\{(f,s) \in P_n \times \operatorname{Spec} R : x^i(x-s)^j \mid f\right\}$$ es cerrado, por lo que lo mismo ocurre con $Z_m = \bigcup_{i+j=m} Z_{i,j}$ . La restricción de $Z_m$ à $P_n \times \operatorname{Spec} R[1/s]$ es $X_m$ que muestra $\bar X_m \subseteq Z_m$ . Pero si $Z = \{f \in P_n : x^m \mid f\}$ entonces $Z_m \cap \big(P_n \times \{0\}\big)$ es sólo $Z \times \{0\}$ . Desde $Z \times \operatorname{Spec} R[1/s] \subseteq X_m$ obtenemos $Z \times \{0\} \subseteq \bar X_m$ Por lo tanto $Z_m \subseteq \bar X_m$ . Concluimos que $Z_m = \bar X_m$ , lo que demuestra la afirmación requerida. $\square$