Prueba $\lim_{n \to 0} \frac{e^{2n}-1}{n}*\cos(3/n)$ no existe.

Question

Demostrar que $$\lim_{n \to 0} \frac{e^{2n}-1}{n}*\cos\left(\frac{3}{n}\right)$$

no existe. Podemos decir algo sobre el límite de $\cos\left(\frac{3}{n}\right)$ pero ni idea de cómo mostrarlo de manera más "formal".

Answer 1

$$\lim_{n \to 0} \frac{e^{2n}-1}{n} = 2\lim_{n \to 0} \frac{e^{2n}-e^0}{2n}= 2(e^x)'\vert_{x=0} = 2$$

Tome $n_k = \dfrac{1}{(2k+1)\pi}$ , obtenemos un límite.

Tome $n_k = \dfrac{1}{2k\pi}$ , obtenemos otro límite.

Estos dos límites no son iguales