Dejemos que $L$ sea un generador de probabilidades es cierto que $L_\epsilon = L (I - \epsilon L)^{-1}$ ¿también es un generador?

Question

Esta pregunta se desprende del siguiente ejercicio en Liggett (Continuous time Markov processes) pg 103

Me gustaría probar la propiedad $(d)$ del ejercicio 3.23 (b).

Answer 1

Queremos encontrar $f_n$ una secuencia de función tal que $\sup_n\| (I - \lambda L_\epsilon)f_n\| < \infty$ y $f_n, g_n$ convergen a $1$ en el sentido de la palabra.

Podríamos probar la secuencia $h_n$ que satisface la propiedad $(d)$ para $L$

así que deja que $v_n = (I - \epsilon L)h_n$ .

$v_n \to 1$ en el sentido de la palabra y $\sup_n \|v_n\| < \infty$ puis

\begin{align} w_n = v_n - \lambda L_\epsilon v_n &= v_n - \frac{\lambda}{\epsilon} \epsilon L_\epsilon v_n = \\ & = v_n - \frac{\lambda}{\epsilon} \big[ (I - \epsilon L)^{-1} v_n - v_n \big] \\ & = v_n - \frac{\lambda}{\epsilon} \big[ h_n - v_n \big] \\ \end{align}

Por lo tanto, $w_n$ converge puntualmente a $1$ . la delimitación de $w_n$ es una consecuencia de la acotación de $v_n$ y el operador $L_\epsilon$