Curva ambigua: ¿puedes seguir la bicicleta?

Question

Dejemos que $\alpha:[0,1]\to \mathbb R^2$ sea una curva suave y cerrada parametrizada por la longitud del arco. Pensaremos en $\alpha$ como la pista trasera de la rueda de una bicicleta. Si suponemos que la distancia entre las dos ruedas es $1$ entonces podemos describir la vía delantera mediante

$$\tau(t)=\alpha(t)+\alpha'(t)\;.$$

Supongamos que conocemos los dos trazos (trasero y delantero) de una bicicleta. ¿Puedes determinar la orientación de las curvas? Por ejemplo, si $\alpha$ era un círculo la respuesta es no.

Más concretamente, la pregunta es:

¿Existe una curva suave y cerrada parametrizada por la longitud de arco $\alpha$ tal que

$$\tau([0,1])=\gamma([0,1])$$

donde $\gamma(t)=\alpha(1-t)-\alpha'(1-t)$ ?

Si el rastro de $\alpha$ es un círculo tenemos $\tau([0,1])=\gamma([0,1])$ . ¿Hay otro?

Answer 1

Sí, Franz Wegner construyó pares de curvas cerradas y suaves que no son círculos y que pueden servir como pares de carriles para bicicletas recorridos en cualquier dirección. Pueden expresarse analíticamente en términos de la $\sigma$ y $\zeta$ funciones. Curiosamente, estas curvas también describen formas que pueden flotar en cualquier posición, y trayectorias de electrones que se mueven en un campo magnético parabólico.

Una breve descripción y una imagen están aquí http://www.tphys.uni-heidelberg.de/~wegner/Fl2mvs/Movies.html#animaciones Detalles matemáticos y más fotos aquí http://arxiv.org/pdf/physics/0701241v3.pdf .

Answer 2

A mí me parece que es así. Las vías son dos círculos concéntricos. La rueda trasera gira en un radio circular $b$ La longitud de la trama es constante = $a$ (en lugar de 1) tangente a esta circunferencia. La rueda delantera gira en un círculo de radio $\sqrt{a^2 + b^2}$ . Has girado el manillar por el ángulo $\alpha = \arctan \frac{a}{b}$ . Si $\alpha = 90\,^{\circ}$ , $b=0$ , un caso especial extremo cuando la rueda trasera no se mueve en el suelo.

Answer 3

Después de la por dónde iba la bicicleta libro, ha habido un cierto desarrollo sistemático de la teoría relacionada con el problema de la bicicleta. Gran parte de ello está hecho o citado en los artículos de Tabachnikov y sus coautores, disponibles en Internet:

http://arxiv.org/find/all/1/all:+Y+carriles+de+bicicletas/0/1/0/todos/0/1

http://arxiv.org/abs/math/0405445

Answer 4

Tomemos una curva en forma de ocho, formada por dos círculos tangentes, no necesariamente del mismo tamaño.

O una cadena arbitraria de círculos tangentes.

Answer 5

¿Harías un ejercicio (acrobático) de conducir la bicicleta hacia atrás con la rueda delantera girada hacia atrás? Si lo consigues, y logras que la rueda delantera vaya en línea recta, la trasera iría en una tractrix - a pesar de la dirección que hayas elegido para montar.