¿Es suficiente satisfacer el teorema de Lagrange para demostrar que un bucle es un grupo?

Question

Consideremos un bucle finito $L$ que es un conjunto con una operación que tiene cierre, identidad e invertibilidad (pero no necesariamente asociatividad). Consideremos un subbucle de $L$ , es decir, un conjunto $H$ contenida en $L$ que es a su vez un bucle (con el mismo elemento de identidad). Si el orden de todos los sub-bucles de $L$ dividir el orden de $L$ ("satisface el teorema de Lagrange"), es el bucle $L$ ¿es necesariamente un grupo?

¿Se puede demostrar esto o hay un contraejemplo fácil de un bucle finito que satisfaga el teorema de Lagrange y que no sea un grupo?

Answer 1

No.

Considere el bucle $Q^*$ obtenidos a partir de los cuaterniones hiperbólicos: El conjunto $\{ \pm1, \pm i, \pm j, \pm k \}$ siendo la operación de bucle la multiplicación definida por $i^2=j^2=k^2= +1$ y los demás productos igual que en los cuaterniones. Se puede comprobar que se trata claramente de un bucle pero no de un grupo. La asociatividad no se cumple: $ i(jj)=i \not = -i = (ij)j$ .

Los sub-bucles de $Q^*$ son $\{1\}, \{1,-1\} \{1,g\} \{1,g,-g,-1\}$ donde $g \not = \pm 1$ y $Q^*$ . Claramente, los órdenes de todos los sub-bucles dividen $8$ .

Answer 2

El ejemplo más pequeño es uno de los bucles no asociativos de orden 5. Su tabla de Cayley puede mostrarse como:

01234
12043
23401
34120
40312

Como cada fila y columna contiene cada número exactamente una vez y como la primera fila y la primera columna son la identidad, esto es un bucle. Como $1 \cdot (1 \cdot 1) = 1 \cdot 2 = 0 \neq (1 \cdot 1) \cdot 1 = 2 \cdot 1 = 3$ este bucle ni siquiera es asociativo de potencia (es el único bucle de orden 5 que no es asociativo de potencia).

El subbucle generado por cada elemento distinto de cero es el bucle completo, por lo que los únicos subbucles son de orden 1 (sólo el elemento cero) y de orden 5 (el bucle completo).

Como todo bucle de orden 4 o menor es asociativo (un grupo), este es un ejemplo de tamaño mínimo. Acabo de comprobar los demás bucles de orden 5 y tienen subbucles de tamaño 2, así que éste es el único bucle no asociativo de tamaño mínimo hasta el isomorfismo que satisface el teorema de Lagrange.

Todo lo que sé sobre bucles lo aprendí de Stephen Gagola III. Recomiendo sus artículos, especialmente sobre los bucles de Moufang (todos los cuales satisfacen el teorema de Lagrange). La prueba de ese resultado refleja mucho de la teoría de grupos finitos, incluyendo el proceder a través del orden impar, soluble, y una clasificación de los bucles moufang simples finitos como siendo básicamente grupos PSL.