Mi libro de texto dice que el producto de dos ideales $I$ y $J$ es el conjunto de todas las sumas finitas de elementos de la forma $ab$ con $a \in I$ y $b \in J$ . ¿Qué significa esto exactamente? ¿Puede dar ejemplos?
Se desea que el producto ideal sea $$IJ=\{ij\mid i\in I,j\in J\}$$ pero podemos ver fácilmente que hay un problema. Debe ser cerrado bajo la adición, por lo que $ij+i'j'$ debe estar en $IJ$ . ¿Puedes encontrar $i''\in I$ , $j''\in J$ tal que $ij+i'j'=i''j''$ para que esté en $IJ$ como se ha definido anteriormente? En general, no. La forma natural de permitir el cierre aditivo es definir $IJ$ como lo hiciste, incluyendo sumas finitas arbitrarias de productos.
Este es un buen ejemplo, ¡1+! Casi lo mismo, por supuesto, funciona con $R[X,Y]$ y los dos ideales $(X,Y)$ y $(1-X,Y)$ . Geométricamente, $Y$ desaparece en $\{(0,0),(1,0)\} \subseteq \mathbb{A}^2_R$ pero no puede escribirse como producto de dos polinomios que desaparecen en $(0,0)$ resp. $(1,0)$ . ¿Existen $1$ -¿Ejemplos dimensionales?
Un gran +1 por dar realmente un ejemplo de cuándo $IJ$ no es simplemente el conjunto de todos los productos $ij$ .
Me gusta más tu versión, la otra no entiendo si significa que puede haber varias sumas sumadas, como sería $ax+by \in IJ$ si $a,b \in I$ y $x,y \in J$ ?
@AllisonCameron sí, según (tu) definición del producto de dos ideales, esa suma estaría en el producto.
Dado que también se pidieron ejemplos, permítanme mencionar cómo calcular el producto de dos ideales (además de los ideales principales ya mencionados).
Si $I$ se genera por elementos $\{a_i\}$ y $J$ se genera por elementos $\{b_j\}$ entonces $I \cdot J$ es generado por los elementos $\{a_i \cdot b_j\}$ . Puede comprobarlo utilizando la definición del elemento $I \cdot J$ o utilizando la definición más elegante de $I \cdot J$ como el ideal más pequeño que contiene todos los productos.
Por ejemplo, en $\mathbb{Q}[x,y]$ se calcula $(x,y) \cdot (x^2,y^2)=(x^3,x y^2,x^2 y,y^3)$ .
En general, se observa que $I \cdot J \subseteq I \cap J$ . Esto no es una igualdad en general; en el ejemplo anterior la intersección es simplemente $(x,y)$ . Sin embargo, se tiene (en el caso conmutativo) $\sqrt{I \cdot J} = \sqrt{I \cap J}$ .
Lo más importante es que no siempre, como podría suponer un estudiante, se trata de $\{ab\mid a\in I, b\in J\}$ . Eso funciona para los grupos, pero en un anillo tienes dos operaciones en marcha. Ciertamente, además de tener todos los productos por pares, también tendría que tener todas las sumas posibles de esos productos. De lo contrario, dado $ab$ y $a'b'$ no se puede escribir nada. $ab+a'b'$ en la forma $a''b''$ (el $a$ son de $I$ El $b$ son de $J$ ).
Pruébelo: demuestre que $\{\sum a_ib_i\mid a_i\in I, b_i\in J\}$ (sumas finitas) forma un ideal. Entonces demuestra que es el ideal más pequeño que contiene los productos por pares.
¿Por qué lo ideal es $IJ$ pas $\left\{\sum r_ia_ib_i \mid r_i \in R, a_i \in I, b_i \in J\right\}$ ?
¿Por qué sólo sumas finitas? Si uno de los ideales es infinito, entonces se pueden formar infinitas sumas del tipo que mencionas.
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