Cómo conseguir principal argumento del número complejo desde el plano complejo?

Question

Estoy empezando a aprender el cálculo y los conceptos de radianes. Algo que me confunde es como mi libro de texto es conseguir que el argumento principal ($\arg z$) del plano complejo. es decir, para el número complejo a$-2 + 2i$, ¿cómo se consigue $\frac{3\pi}{4}$? (Me pongo $\frac{\pi}{4}$).

La fórmula es $\tan^{-1}(\frac{b}{a})$, y estoy consiguiendo $\frac{\pi}{4}$ cuando me calcular el $\tan^{-1}(\frac{2}{-2})$. Cuando la saqué yo veo que el punto está en el cuadrante 2.

Entonces, ¿cómo calcular el valor correcto de la principal argumento?

Answer 1

El principal valor de $\tan^{-1}\theta$ es siempre entre el$-\frac{\pi}2$$\frac{\pi}2$. El principal valor de $\arg z$, por otro lado, siempre está en el intervalo de $(-\pi,\pi]$. Así, por $z$ en el primer cuadrante es entre el$0$$\frac{\pi}2$; $z$ en el segundo cuadrante se entre $\frac{\pi}2$$\pi$; $z$ en el tercer cuadrante se entre $-\frac{\pi}2$$-\pi$; y para $z$ en el cuarto cuadrante se entre $0$ $-\frac{\pi}2$. Esto significa que el $\tan^{-1}$ función le proporciona el ángulo correcto sólo cuando $z$ es en el primer y cuarto cuadrantes.

Al $z$ está en el segundo cuadrante, usted tiene que encontrar un ángulo entre el $\frac{\pi}2$ $\pi$ que tiene la misma tangente del ángulo $\theta$ devuelve la $\tan^{-1}$ función, que satisface $-\frac{\pi}2<\theta\le 0$. La función tangente es periódica con período de $\pi$, lo $\tan(\theta+\pi)=\tan\theta$, y $$\frac{\pi}2=-\frac{\pi}2+\pi<\theta+\pi\le0+\pi=\pi\;,$$ so $\theta+\pi$ es, de hecho, en el segundo cuadrante.

Al $z$ está en el tercer cuadrante, usted tiene que encontrar un ángulo entre el $-\pi$ $-\frac{\pi}2$ que tiene la misma tangente del ángulo $\theta$ devuelve la $\tan^{-1}$ función, que satisface $0\le\theta<\frac{\pi}2$. Esta vez de restar $\pi$ el truco: $\tan(\theta-\pi)=\tan\theta$, y

$$-\pi=0-\pi<\theta-\pi<\frac{\pi}2-\pi=-\frac{\pi}2\;.$$

Sólo hay uno un poco difícil de bits. Si $z$ es un número real negativo, debe considerar la posibilidad de que sea en el segundo o en el tercer cuadrante? La tangente es $0$, por lo que el $\tan^{-1}$ función devolverá $0$. Si usted trata a $z$ está en el segundo cuadrante, agregará $\pi$, y obtener un argumento principal, de $\pi$. Si en lugar de tratar a las $z$ está en el tercer cuadrante, vas a restar $\pi$, y obtener un argumento principal, de $-\pi$. Pero, por definición, el argumento principal está en el intervalo de $(\pi,\pi]$, que no incluye a $-\pi$; por lo tanto, usted debe tomar $z$ en el segundo cuadrante y se le asigna el principal argumento de $pi$.

Answer 2

Una de las funciones más importantes en el análisis es el argumento de la función $${\rm arg}:\quad \dot{\mathbb R}^2\to {\mathbb R}/(2\pi{\mathbb Z}),\qquad (x,y)\mapsto {\rm arg}(x,y)\ ,$$ resp. $${\rm arg}:\quad \dot{\mathbb C}\to {\mathbb R}/(2\pi{\mathbb Z}),\qquad z\mapsto {\rm arg}z\ ,$$ donde el punto indica que el origen es eliminado.

Intuitivamente ${\rm arg}(x,y)$ denota el ángulo polar de $(x,y)$ "hasta múltiplos de $2\pi$". Para los "locales" consideraciones de allí se continua con un valor real ("numérico") representantes más de ${\rm arg}$; pero estos se definen sólo en un parte de $\dot{\mathbb R}^2$. En particular, el valor del capital $${\rm Arg}:\quad {\mathbb R}^2\setminus\{(x,0)|x\leq0\}\ \to {\mathbb R},\qquad (x,y)\mapsto {\rm Arg}(x,y)$$ se define en el $(x,y)$-plano de la rendija a lo largo de la negativa $x$-eje. Tiene la simple propiedad de simetría ${\rm Arg}\bar z=-{\rm Arg}z$, y para $x>0$ está dada por $${\rm Arg}(x,y)=\arctan{y\over x}\qquad(x>0)\ .$$ Tenga en cuenta que el ${\rm arg}$ función tiene una bien definida dada por el gradiente de $$\nabla{\rm arg}(x,y)=\Bigl({-y\over x^2+y^2},{x\over x^2+y^2}\Bigr)\qquad\bigl((x,y)\ne(0,0)\bigr)\ .$$

Answer 3

Me he encontrado con esta receta para el argumento principal. Ahorra cachondeo sumando o restando $\pi$.

$$\text{Arg} (z) = n\ \text{cos}^{-1} \left(\frac{x}{z}\right)$$

en la que n = 1 si y ≥ 0 y n = -1 si y < 0.

He probado a "automatizar" el valor de n, pero lo mejor que puedo hacer es

$$\text{Arg} (z) = \frac{y}{|y|}\ \text{cos}^{-1} \left(\frac{x}{z}\right).$$

Por desgracia, esto no para y = 0 (real z), por lo que la y = 0 caso tendría que ser atendidas por separado.

Edit: muy feo auto-contenida receta sería

$$\text{Arg} (z) = \text{sgn}\left(\text{sgn}(y) + \frac{1}{2}\right)\ \text{cos}^{-1} \left(\frac{x}{z}\right).$$