¿Existe un elemento idempotente en un semigrupo finito?

Question

Dejemos que $(G,\cdot)$ sea un finito no vacío semigrupo . ¿Hay alguna $a\in G$ tal que: $$a^2=a$$

Parece ser cierto en vista del teorema 2.2.1 página 97 de este libro (no estoy seguro). ¿Pero hay una prueba elemental?

Teorema 2.2.1. [R. Ellis] Deja $S$ sea un semigrupo topológico derecho compacto. Entonces existe un idempotente en él.

Este teorema también se conoce como Lema de Ellis-Numakura .

Answer 1

Dejemos que $x$ sea un elemento de $S$ . Desde $S$ es finito, existen enteros $i, p >0$ tal que $x^i = x^{i+p}$ . De ello se desprende que, para todo $k \geqslant i$ , $x^k = x^{k+p}$ . En particular, si $k$ es un múltiplo de $p$ , digamos que $k = qp$ , uno tiene $(x^k)^2 = x^{2k} = x^{k+qp} = x^k$ y por lo tanto $x^k$ es idempotente.