¿Existe un elemento idempotente en un semigrupo finito?

Question

Dejemos que $(G,\cdot)$ sea un finito no vacío semigrupo . ¿Hay alguna $a\in G$ tal que: $$a^2=a$$

Parece ser cierto en vista del teorema 2.2.1 página 97 de este libro (no estoy seguro). ¿Pero hay una prueba elemental?

Teorema 2.2.1. [R. Ellis] Deja $S$ sea un semigrupo topológico derecho compacto. Entonces existe un idempotente en él.

Este teorema también se conoce como Lema de Ellis-Numakura .

Answer 1

Obsérvese en primer lugar que basta con demostrar que $a^k = a$ para algunos $k \geq 2$ . Si $k = 2$ hemos terminado. De lo contrario, $k > 2$ y multiplicando ambos lados por $a^{k-2}$ da $(a^{k-1})^2 = a^{k-1}$ .

Arreglar $x \in G$ y considerar la secuencia

$$x, x^2, x^4, x^8, x^{16}, \ldots$$

Desde $G$ es finito, hay repetición en esta secuencia. Es decir, $x^{2^t} = x^{2^s}$ para algunos enteros $t > s \geq 1$ . Así, $x^{2^t} = (x^{2^s})^{2^{t-s}} = x^{2^s}$ Así pues, la elección de $a = x^{2^{s}}$ y $k = 2^{t-s}$ da $a^k = a$ . Tenga en cuenta que $k \geq 2$ desde $t > s$ .

Answer 2

Elige un elemento arbitrario y empieza a iterar $x\mapsto x^2$ . Dado que el semigrupo es finito, eventualmente se llegará a un ciclo. Esto le da un $b$ tal que $b^k=b$ para algunos $k\ge 2$ . Ahora, establece $a=b^{k-1}$ .

Answer 3

Cuando vi la pregunta por primera vez, recordé que había una prueba en MO usando la teoría de Ramsey, pero no podía recordar cómo era el argumento, así que se me ocurrió lo siguiente, que publiqué por primera vez como comentario:

Una bonita prueba utilizando Teorema de Schur : Arreglar $a$ en su semigrupo $S$ y el color $n$ y $m$ con el mismo color siempre que $a^n=a^m$ . Por el teorema de Schur (y el hecho de que el semigrupo es finito) hay $n\le m$ tal que $n$ , $m$ y $n+m$ tienen el mismo color. Es decir, $a^n=a^m=a^{n+m}=(a^n)^2$ .

(Hoy por fin he encontrado el hilo en MO con la teoría de Ramsey prueba , utilizando directamente el teorema de Ramsey en lugar del teorema de Schur).

Answer 4

Puede encontrar un prueba $^1$ del siguiente teorema, del que se desprende su afirmación, en Prueba Wiki

Semigrupo finito: Existe la potencia idempotente

Teorema

Dejemos que $(S,\circ)$ sea un semigrupo finito.

Para cada elemento de $(S,\circ),$ hay una potencia de ese elemento que es idempotente. Es decir: $$\forall x \in S:\exists i \in \mathbb N:x^i=x^i\circ x^i$$

Esencialmente, entonces, para sus propósitos : puedes simplemente poner $a = x^i$ ,
y tienes la existencia de un elemento idempotente $a \in S$ tal que $\;a^2 = a$ .

$1.$ Fuente de la prueba: Thomas A. Whitelaw: Introducción al álgebra abstracta (1978).

Answer 5

Este es un punto muy bueno demostrado por E.H.Moore que dice:

Alguna potencia de cada elemento de un semigrupo finito es idempotente.

Trans. Amer. Math. Soc. 3 1902