¿Es correcta mi prueba de la desigualdad del supremum?

Question

Tengo que demostrar la siguiente afirmación: $$[\forall x \in A : f(x) \le g(x)] \implies \sup\{f(x),x\in A\} \le \sup\{g(x),x\in A\}$$

Mi prueba es la siguiente: Demostraré el contrapositivo. Sea $c_0 = \sup\{f(x),x\in A\}$ y $c_1 = \sup\{g(x),x\in A\}$ . Desde $c_0 > c_1$ y $c_1 \ge g(x)$ , $c_0 > g(x)$ . Esto significa que $c_0$ es un límite superior de $g(x)$ y el supremum de $f(x)$ para cualquier $x\in A$ . Desde $c_0$ no es el mínimo límite superior de $g(x)$ se deduce que $$\exists\ x \in A:f(x)>g(x)$$

Answer 1

Estás cerrando demasiado rápido. Te falta declarar que

si $c_0>c_1$ entonces, por las propiedades del supremum, existe $x_0\in A$ con $c_1<f(x_0)\le c_0$ .

En realidad esta es una prueba completa, porque $g(x)\le c_1$ por cada $x\in A$ y por lo tanto $g(x_0)<f(x_0)$ .