Ampliar $\frac{\Gamma(n)}{\Gamma(n-k)}$ como un polinomio

Question

Quiero ampliar $\frac{\Gamma(n)}{\Gamma(n-k)}$ como un polinomio, donde $\Gamma$ es la función gamma.

Para $k\in\mathbb{N}$ se puede "simplificar" como

$$\frac{\Gamma(n)}{\Gamma(n-k)}=(n-1)(n-2)(n-3)\dots(n-k)$$

Me preguntaba si era posible ampliar eso en $\sum_{i=0}^ka_in^{k-i}$ forma.

Además, está el caso más difícil de $k\in\mathbb R$ .

Me imaginaba que sería de la forma $\Pi_{i=0}^\infty(n-r_i)$ donde $r_n$ es el $n$ la raíz.

Si este fuera el caso, vemos que

$$\Gamma(n)\ne0\implies\frac1{\Gamma(n-k)}=0$$

Esto ocurre en los polos

$$\implies r_i-k=-i$$

$$r_i=i+k$$

Y poner en forma de producto

$$\frac{\Gamma(n)}{\Gamma(n-k)}=\Pi_{i=0}^\infty(n-r_i)=\Pi_{i=0}^\infty(n-k-i)$$

Lamentablemente, no creo que sea posible multiplicar el producto porque es divergente.

• Q1 ¿Existe una forma polinómica/expansiva para $k\in\mathbb N$ ¿usando sumas si es necesario?

• Q2 ¿Qué pasa con $k\in\mathbb R$ ?

EDITAR

Desde abajo, puedes ver que he trabajado el caso para $k\in\mathbb N$ , pero todavía necesito $k\in\mathbb R$ .

$$\frac{\Gamma(u)}{\Gamma(u-n)}=\sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}s(n,k)(u-n)^k$$

Mi suposición para $n\in\mathbb R$ es que la fórmula se convierte en

$$\frac{\Gamma(u)}{\Gamma(u-n)}=\sum_{k=0}^\infty(-1)^{n-k}s(n,k)(u-n)^k$$

Por razones similares de por qué Euler extendió la expansión binomial de la manera que lo hizo. Observo que la fórmula que propongo es válida si $n\in\mathbb N$ pero no tiene mucho sentido para $n\in\mathbb R$ .

Answer 1

Como WolframAlpha estados:

$$\frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x)}=x(x+1)(x+2)(x+3)\dots(x+n-1)=\sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}s(n,k)x^k$$

donde $s(n,k)$ es un número de Stirling del primer tipo.

Reescribible como

$$x(x+1)(x+2)(x+3)\dots(x+n-1)=(x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)\dots x=\frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x+n-n)}$$

Utilizar la sustitución $x+n=u$

$$=\frac{\Gamma(u)}{\Gamma(u-n)}$$

Answer 2

Desde $\frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x)}=(x)_n$ la respuesta viene dada simplemente por el función generadora de los números de Stirling del primer tipo .

Answer 3

En particular, para $\displaystyle k=\frac{1}{2}$ ,

\begin{align*} \Gamma \left( n-\frac{1}{2} \right) &= \frac{(2n-3)!!}{2^{n-1}} \sqrt{\pi} \\ \frac{\Gamma \left( n \right)}{\Gamma \left( n-\frac{1}{2} \right)} &= \frac{(n-1)!}{(2n-3)!!} \frac{2^{n-1}}{\sqrt{\pi}} \\ &= \frac{(n-1)!(2n-2)!!}{(2n-2)!!(2n-3)!!} \frac{2^{n-1}}{\sqrt{\pi}} \\ &= \frac{2^{n-1} [(n-1)!]^{2}}{(2n-2)!} \frac{2^{n-1}}{\sqrt{\pi}} \\ &= \frac{2^{2(n-1)}}{\binom{2n-2}{n-1}\sqrt{\pi}} \\ &= \frac{2^{2(n-1)}(n-1)!}{(2n-2)(2n-3) \ldots n \sqrt{\pi}} \end{align*}

que no es un polinomio en $n$ .

Por $\displaystyle \Gamma \left( \frac{1}{3} \right)= 2^{7/9}3^{-1/12} \sqrt[3]{\pi K(\sin 15^{\circ})}$ podemos hacer algo similar para $k=\frac{1}{3}$ .