Dado $(X,\mathcal{F},m)$ un espacio de medidas con $m(X)=1$ y $||f||_p<\infty$ para algunos $p>0$ . Necesidad de demostrar que $\forall q \in (0,p)$ $$\int \log |f| dm\leq \log(||f||_q),$$ $$ \log ||f||_q \leq \frac{\int |f|^qdm -1}{q},$$ $$\lim_{q\to 0} \frac{\int |f|^q dm -1}{q}=\int \log |f| dm$$ y finalmente $$\lim_{q\to 0} ||f||_q= e^{\int \log (|f|)dm} .$$ Mi intento de primera desigualdad ya que $\log$ es cóncavo tenemos $$\int \log (|f|)dm\leq \log\left(\int|f|dm\right)$$ por la desigualdad de Jensen. Quiere reclamar $$\int |f| dm \leq ||f||_q$$ pero sólo es cierto para $q>1$ . Si asumo la afirmación anterior, entonces $$\int \log (|f|)dm\leq \log\left(\int|f|dm\right)\leq \log ||f||_q$$ por las propiedades de $\log$ . Para la segunda desigualdad no tengo ni idea, así como los límites. Los límites deben seguir las desigualdades de alguna manera.
Respuesta
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Para la primera pregunta, aplique la desigualdad de Jensen como lo ha hecho con la función $|f|^q$ y multiplicar ambos lados por $1/q$ . Obtenemos
$$\int \log (|f|)dm = \frac{1}{q}\int \log (|f|^q)dm\leq \frac{1}{q}\log\left(\int|f|^qdm\right) = \log\left(\left(\int|f|^qdm\right)^{1/q}\right)$$
establecer el resultado.
La segunda desigualdad se deriva esencialmente de $ x - 1 - \log x \ge 0$ lo cual es cierto para todos los $x \in \mathbb{R}_+$ . Puedes demostrarlo con el cálculo de primer año.
La tercera se puede establecer con la regla de l'Hospital:
$$\lim_{q\to 0} \frac{\int |f|^q dm -1}{q}= \lim_{q\to 0} \frac{\int |f|^q \log|f| dm}{1} = \int \log |f| dm$$
Tenga en cuenta que las dos igualdades anteriores requieren una justificación: por qué $\int_X$ y $\frac{\partial}{\partial q}$ viaje de ida y vuelta, y por qué $\int_X$ y $\lim_{q \to 0}$ el viaje de ida y vuelta. Te lo dejo a ti, ya que surgen de razones fundamentales que deberías conocer, o que deberías dedicar tiempo a pensar si no lo sabes.
Por último, aprieta ambos lados de la desigualdad establecida en la primera pregunta para terminar.
