Dado $f(z)=(z^2-1)^{\frac{1}{2}}$ encontrar los tres primeros términos de la expansión de Laurent

Question

Dado

$$f(z)=(z^2-1)^{\frac{1}{2}}$$

que tiene una rama cortada para $|z|<1$ . Encuentra los tres primeros términos de la expansión de Laurent.

Procedo a factorizar un $z^2$ .

$$z(1-\frac{1}{z^2})^{\frac{1}{2}}$$

donde conozco la siguiente expansión

$$\frac{1}{z^2}=\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)(z+1)^n=1+2(z+1)+3(z+1)^3+ \ldots$$

Sin embargo, aunque al enchufar esto se cancelan los 1, no sé cómo tratar la 1/2 potencia.

$$z(2(z+1)+3(z+2)^3+\ldots)^{\frac{1}{2}}$$

Consejos, y también ¿cómo podría lidiar con el corte de la rama?

Answer 1

Esta función tiene puntos de ramificación en $z=+1$ y en $z=-1$ y un ramal que conecta estos dos puntos. Al tratarse de una singularidad de raíz cuadrada, la ramificación de $|z|>1$ se cancela, como puede verse al considerar el cambio de fase neto cuando se rodean ambos puntos de ramificación: \begin{align*} \left.\arg\left(\sqrt{z^2-1}\right)\right|_{\arg z =0}^{\arg z=2\pi}=0\qquad \mod 2\pi \end{align*}

Así, la expansión de Laurent para $|z|>1$ está utilizando el _expansión de la serie binomial \begin{align*} \left(z^2-1\right)^{\frac{1}{2}}&=z\left(1-\frac{1}{z^2}\right)^{\frac{1}{2}}\\ &=z\sum\{n=0}^{\infty}\binom{\frac{1}{2}}{n}\left(-\frac{1}{z^2}\right)^n\\ &=z\left[\binom{\frac{1}{2}}{0}-\binom{\frac{1}{2}}{1}\frac{1}{z^2}+\binom{\frac{1}{2}}{2}\frac{1}{z^2}\mp\cdots\right]\\ &=z-\frac{1}{2z}-\frac{1}{8z^3}\mp\cdots \end{align*}

Nota: Este es el ejemplo 6.3.1 encontrado ici .