Encontrar el límite sin el uso de L'Hôpital o series de Taylor: $\lim \limits_{x\rightarrow 0} \left(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{\sin^2 x}\right)$

Question

Encontrar el límite sin el uso de la regla de L'Hôpital o series de Taylor

$$\lim \limits_{x\rightarrow 0} \left(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{\sin^2x}\right)$$

Answer 1

Deje $I = \lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{x^2} - \frac{1}{\sin^2 x}\right)$, tenemos:

$$\begin{align} I = & \lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{(2x)^2} - \frac{1}{\sin^2(2x)}\right)\\ = & \lim_{x\to 0} \left(\frac{1}{4 x^2} - \frac{1}{4 \sin^2 x\cos^2 x}\right)\\ \implies 4I = & \lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{x^2} - \frac{1}{\sin^2 x\cos^2 x}\right)\\ \implies 3I = & \lim_{x\to 0}\left\{\left(\frac{1}{x^2} - \frac{1}{\sin^2 x\cos^2 x}\right) -\left(\frac{1}{x^2} - \frac{1}{\sin^2 x}\right)\right\}\\ =&-\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos^2 x}{\sin^2 x\cos^2 x} = -\lim_{x\to 0}\frac{1}{\cos^2 x} = -1\\ \implies I = & -\frac{1}{3} \end{align}$$

Answer 2

Bien, usted tiene $$\left(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{\sin^2 x}\right) = \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{\sin x}\right)\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{\sin x}\right)$$ $$=\left(\frac{1}{x^2} - \frac{1}{x\sin x}\right)\left(1+ \frac{x}{\sin x}\right)$$ Desde el límite de$\left(1+ \frac{x}{\sin x}\right)$$2$, su respuesta será $$2\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^2} - \frac{1}{x\sin x}\right)$$ $$=2\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{x}{\sin x}\right)\left(\frac{\sin x - x}{x^3}\right)$$ $$=2\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x - x}{x^3}$$ Un elemental cálculo manera de mostrar este límite es $-{1 \over 6}$ puede ser encontrado aquí.

Así que la respuesta global es $-\frac{1}{3}$.

Answer 3

lo siento por responder a mi Pregunta, pero Zarrax del camino y su comentario me llevan a la respuesta $$L=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin(x)-x}{x^3}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin\frac{x}{3}-\frac{x}{3}}{(\frac{x}{3})^3}$$

$$L=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin(x)-x}{x^3}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{3\sin(\frac{x}{3})-4\sin^3(\frac{x}{3})-x}{x^3}$$

$$L=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{3\sin(\frac{x}{3})-4\sin^3(\frac{x}{3})-x}{x^3}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{3(\sin(\frac{x}{3})-\frac{x}{3})-4\sin^3(\frac{x}{3})}{27(\frac{x}{3})^3}$$

$$L=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{3(\sin(\frac{x}{3})-\frac{x}{3})-4\sin^3(\frac{x}{3})}{27(\frac{x}{3})^3}=\frac{3L}{27}-\frac{4}{27}$$

$$L=\frac{3L}{27}-\frac{4}{27}$$

$$L=-\frac{1}{6}$$

$$2L=-\frac{1}{3}=\lim \limits_{x\rightarrow 0} \left(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{\sin^2x}\right)$$

gracias mucho Zarrax gracias por cada uno

Answer 4

Vamos a utilizar ese $\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x}=1$, la cual puede ser demostrado geométricamente.

Primera nota de que $$ \begin{align} \frac1{\vphantom{()^2}x^2}-\frac1{\sin^2(x)} &=\frac{\sin^2(x)-x^2}{x^2\sin^2(x)}\\ &=\frac{\sin^2(x)-x^2}{x^4}\left(\frac{\sin(x)}{x}\right)^{-2}\\ &=\frac{\sin(x)-x}{x^3}\left(\frac{\sin(x)}{x}+1\right)\left(\frac{\sin(x)}{x}\right)^{-2}\tag{1} \end{align} $$ A continuación, tenemos $$ \begin{align} \frac{\sin(x/2^{k-1})-2\sin(x/2^k)}{x^3} &=\frac{2\sin(x/2^k)(\cos(x/2^k)-1)}{x^3}\\ &=\frac{\sin(x/2^k)}{x^3}\frac{2(\cos^2(x/2^k)-1)}{\cos(x/2^k)+1}\\ &=-2^{-3k}\left(\frac{\sin(x/2^k)}{x/2^k}\right)^3\frac2{\cos(x/2^k)+1}\tag{2} \end{align} $$ Por lo tanto, $$ \begin{align} \lim_{x\to0}\frac{\sin(x)-x}{x^3} &=\lim_{x\to0}\sum_{k=1}^\infty2^{k-1}\frac{\sin(x/2^{k-1})-2\sin(x/2^k)}{x^3}\\ &=\lim_{x\to0}\sum_{k=1}^\infty-2^{-2k-1}\left(\frac{\sin(x/2^k)}{x/2^k}\right)^3\frac2{\cos(x/2^k)+1}\\ &=\sum_{k=1}^\infty-2^{-2k-1}\\ &=-\frac16\tag{3} \end{align} $$ Conectar $(3)$ a $(1)$, obtenemos $$ \begin{align} \lim_{x\to0}\left(\frac1{\vphantom{()^2}x^2}-\frac1{\sin^2(x)}\right) &=-\frac16\cdot2\cdot1^2\\ &=-\frac13\tag{4} \end{align} $$