Separar la parte real e imaginaria de $j \cos (z)$

Question

Dada la siguiente expresión

$$w = j \cos \left[ \displaystyle \frac{1}{n} \arccos \left( \frac{j}{\epsilon} \right) + \frac{m \pi}{n} \right] = j \cos (z)$$

(que está relacionado con este pregunta; $n,m \in \mathbf{Z}$ , $\epsilon > 0 \in \mathbf{R}$ ), en primer lugar me gustaría expresar la parte real e imaginaria de $w$ respectivamente en términos de $\sinh$ y $\cosh$ de algunos ángulos apropiados. El objetivo es obtener algo así como

$$j \cos(z) = A \sinh(u) + j B \cosh(v)$$

1) ¿Es posible?

He intentado

$$j \cos (z) = j \frac{e^{jz} + e^{-jz}}{2} = \frac{e^{j\left( z + \frac{\pi}{2} \right)} + e^{- j\left( z - \frac{\pi}{2} \right)}}{2}$$

pero hasta ahora no veo una conexión con $\sinh$ y $\cosh$ . No obstante:

2) si esto pudiera ser una forma adecuada, ¿cómo proceder? ¿O hay otras formas alternativas?

Answer 1

Set $z=x+iy$ , donde $x,y$ son reales. Utiliza la fórmula de la suma: $$ \cos{(x+iy)} = \cos{x}\cos{iy}-\sin{x}\sin{iy}. $$ Ahora tienes $$ \cos{iy} = \cosh{y}, \quad \sin{iy} = i\sinh{y}, $$ lo cual es fácil de probar de la manera que usted sugirió. Así que $$ i\cos{(x+iy)} = i(\cos{x}\cosh{y}-i\sin{x}\sinh{y}) = i\cos{x}\cosh{y}+\sin{x}\sinh{y}. $$