Evaluar $\int^\infty_0 t^{a+b-1}(t+1)^{-b-1} U(a+2,a-b+2,ct)dt$

Question

Evaluar $$ \int^\infty_0 t^{a+b-1}\left(t+1\right)^{-b-1} U\left(a+2,a-b+2,ct\right)dt $$ bajo la condición $a>0$ , $b>0$ y $c>0$ , donde $U(\cdot,\cdot,\cdot)$ denota el función hipergeométrica confluente del segundo tipo . Todos los $a$ , $b$ y $c$ son no enteros, pero la restricción más fuerte en el rango de $b$ se acepta.

Mathematica encontró la siguiente forma con la condición $b>\frac{1}{2}$ pero creo que la expresión más simple o más corta existe.

$$ \frac{2 c^{1-a} \, _2F_2(3,b+1;2-a,3-b;-c)}{a \left(a^2-1\right) (b-2) (b-1) b}-\frac{\sqrt{\pi } 4^{b-1} \csc (\pi b) \Gamma \left(b-\frac{1}{2}\right) c^{-a+b-1} \Gamma (a-b+1) \, _2F_2(b+1,2 b-1;b-1,b-a;-c)}{b \Gamma (a+2) \Gamma (b-1)}+\frac{\pi \csc (\pi a) \Gamma (-a+b-1) \Gamma (a+b) \, _2F_2(a+2,a+b;a,a-b+2;-c)}{\Gamma (a) \Gamma (b+1)^2}. $$

Answer 1

(Demasiado grande para comentar)

Probablemente es cuestión de gustos si esto cuenta como más simple (y ciertamente no es más corto), pero la segunda función hipergeométrica confluente puede reducirse a una combinación lineal de funciones hipergeométricas confluentes de menor rango trabajando a través de sus respectivas representaciones integrales:

$$\begin{align} \small{{_2F_2}{\left(b+1,2b-1;b-1,b-a;-c\right)}} &=\small{\frac{\Gamma{\left(b-a\right)}}{\Gamma{\left(2b-1\right)}\,\Gamma{\left(1-a-b\right)}}\int_{0}^{1}t^{2b-2}(1-t)^{-a-b}{_1F_1}{\left(b+1;b-1;-ct\right)}\,\mathrm{d}t}\\ &=\frac{c^2\,\Gamma{\left(b-a\right)}}{(b-1)b\,\Gamma{\left(2b-1\right)}\,\Gamma{\left(1-a-b\right)}}\int_{0}^{1}t^{2b}(1-t)^{-a-b}e^{-ct}\,\mathrm{d}t\\ &~ -\frac{2c\,\Gamma{\left(b-a\right)}}{(b-1)\Gamma{\left(2b-1\right)}\,\Gamma{\left(1-a-b\right)}}\int_{0}^{1}\frac{t^{2b-1}}{(1-t)^{a+b}}e^{-ct}\,\mathrm{d}t\\ &~ +\frac{\Gamma{\left(b-a\right)}}{\Gamma{\left(2b-1\right)}\,\Gamma{\left(1-a-b\right)}}\int_{0}^{1}t^{2b-2}(1-t)^{-a-b}e^{-ct}\,\mathrm{d}t\\ &=\frac{2(2b-1)c^2}{(a-b-1)(a-b)(b-1)}\,{_1F_1}{\left(2b+1;2-a+b;-c\right)}\\ &~ -\frac{2c(2b-1)}{(b-1)(b-a)}\,{_1F_1}{\left(2b;1-a+b;-c\right)}\\ &~ +{_1F_1}{\left(2b-1;b-a;-c\right)}.\\ \end{align}$$

El tercer término hipergeométrico puede "simplificarse" de la misma manera. Sin embargo, parece que el primer término hipergeométrico no es tan sencillo...