Vértice más cercano en una red fcc 3D

Question

La red 3D fcc (face-centered-cubic), que tiene la misma relación de empaquetamiento que la red 3D hexagonal cerrada, tiene los siguientes 12 vectores que conectan cada vértice con sus vecinos:

$(1,-1,0), (-1,1,0), (-1,-1,0), (1,1,0)$

$(1,0,-1), (-1,0,1), (-1,0,-1), (1,0,1)$

$(0,1,-1), (0,-1,1), (0,-1,-1), (0,1,1)$

Si tengo un punto arbitrario $(x,y,z)$ Necesito una fórmula a trozos para encontrar qué vértice de la red es el más cercano. No quiero una solución "algorítmica", es decir, calcular distancias a muchos vértices o calcular celdas de voronoi.

Gracias.

Answer 1

Recordemos que la red cúbica centrada en la cara comprende todos los vectores en $\mathbb{Z}^3$ cuya suma de coordenadas es par.

Dejemos que $(x, y, z) \in \mathbb{R}^3$ . Para cada coordenada, defina el discrepancia para ser la distancia al número entero más cercano, es decir $\delta(x) := |x - \lfloor x \rceil |$ .

Para las dos coordenadas con menor discrepancia, sustitúyelas por sus enteros más cercanos. Para la coordenada con mayor discrepancia, sustitúyala por el entero más cercano o por el segundo entero más cercano, dependiendo de cuál tenga la paridad correcta para que la suma de las coordenadas sea par.