Dejemos que $A$ y $B$ sea $n\times n$ matrices triangulares inferiores con entradas diagonales $1$ y por debajo de las entradas diagonales como $0$ o $1$ . Supongamos que $A$ y $B$ tiene $a$ , $b$ número de $1$ s. Sea $a,b\ge 2n-1$ .
¿Es correcto que cuando $a>b$ el mayor valor propio de $AA^T$ es mayor que la de $BB^T$ ? si es así, ¿algún indicio que lo demuestre?
Por supuesto que no; ¿por qué iba a ser así? Es un típico "global vs local" situación. Si los fuera de diagonal de $A$ aunque son más numerosos, están repartidos, y los de $B$ se agrupan en una esquina, entonces $B$ bien podría ganar.
El ejemplo siguiente parece ser suficiente. Siento no haber tenido tiempo de encontrar uno con buenas raíces. $$A=\begin{pmatrix} 1 &0 &0 &0\\ 1 &1 &0 &0\\ 0 &1 &1 &0\\ 1 &0 &1 &1 \end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix} 1 &0 &0 &0\\ 0 &1 &0 &0\\ 0 &1 &1 &0\\ 0 &1 &1 &1 \end{pmatrix}$$
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