Dejemos que $H$ sea un subgrupo de $G$ que contiene $N_G(P)$ para algunos Sylow $p$ -subgrupo $P$ de $G$ .

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo finito y $p$ sea un primo. Sea $H$ sea un subgrupo de $G$ que contiene $N_G(P)$ para algunos Sylow $p$ -subgrupo $P$ de $G$ . Supongamos que $P \subseteq H^g$ para algunos $g \in G$ . Demostrar que $g \in H$ .

Con los supuestos puedo demostrar que $N_G(H)=H$ . ¿Qué debo hacer entonces?

Gracias por adelantado.

Answer 1

Considere $P\trianglelefteq N_G(P)\subseteq H\subseteq G$ . Observe que $P$ es un sylow $p$ subgrupo de $H$ y por hipótesis $P\subseteq H^{g}$ , lo que implica $P^{g^{-1}}\subseteq H$ . Por lo tanto, ambos $P, P^{g^{-1}}$ son bajos $p$ subgrupos de $H$ y por lo tanto son conjugados, es decir, existe un $h\in H$ tal que $P=P^{g^{-1}h}$ . Así, $g^{-1}h\in N_G(P)\subseteq H$ , lo que implica $g^{-1}\in H$ . Así, $g\in H$ .