Encontrar todos los pares $(x, y)$ de números enteros positivos tales que $x^2 y + x + y$ es divisible por $xy^2 + y + 7$ . Si hay demasiados para escribir, escriba un formulario genérico.
Estaba pensando en reescribir la divisibilidad de una manera más sencilla como $xy^2 + y + 7\mid x^2 y + x + y \implies xy^2 + y + 7\mid x^2y-xy^2+x-y$ pero no estoy seguro de que eso ayude. ¿Hay alguna manera más fácil?
Tenemos $x=7n^2,y=7n$ como clase de soluciones porque entonces $n(xy^2+7+y)=x^2y+y+x$ .
Hay otra solución $x=11,y=1$ , dando $xy^2+7+y=19,x^2y+y+x=7\cdot19$ .
Tenemos $y(x^2y+x+y)-x(xy^2+y+7)=y^2-7x$ Así que $xy^2+y+7$ debe dividir $y^2-7x$ .
Una posibilidad es $y^2=7x$ . Eso implica que 7 divide $y$ y por lo tanto también $x$ . Así que obtenemos las soluciones en la primera línea.
En caso contrario, ya que $y^2-7x<y^2<xy^2+y+7$ debemos tener $y^2<7x$ . Pero entonces si $y\ge3$ tenemos $xy^2+y+7>9x>7x-y^2>0$ lo cual es imposible si $xy^2+y+7$ es un factor de $7x-y^2$ . Así que $y=1$ o 2. Es fácil comprobar que $y=1$ da la solución $x=11,y=1$ , mientras que $y=2$ no da una solución.
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