$\Pi_f$ para un morfismo $f$ entre conjuntos simpliciales

Question

Este El artículo de nLab dice que las categorías de presheaf (incluyendo $\mathsf{sSet}$ , la categoría de los conjuntos simpliciales) son localmente cerradas en sentido cartesiano. Para las categorías de preseaf, se puede demostrar mediante el uso de la categoría de elementos.

¿Cómo puedo calcular $\Pi_f \colon \mathsf{sSet}/X \to \mathsf{sSet}/Y$ , que es el functor adjunto derecho del mapa pullback, para $f \colon X \to Y$ en $\mathsf{sSet}$ ? ¿Existe una descripción sencilla como el caso de $\mathsf{Set}$ ¿la categoría de conjuntos?

Answer 1

Dejemos que $\mathcal{E} = [\mathbb{C}^{\mathrm{op}},\mathsf{Set}]$ sea cualquier topos presheaf, teniendo en cuenta el ejemplo de $\mathcal{E} = \mathsf{sSet} = [\mathbf{\Delta}^{\mathrm{op}}, \mathsf{Set}]$ .

Primera toma $Y=1$ para que podamos identificar $f : X \to 1$ con $X$ . En este caso, el functor $\Pi_X : \mathcal{E}/X \to \mathcal{E}$ envía un mapa $p : A \to X$ al objeto de las secciones $\Gamma_X(A)$ . Haciendo un poco de adición, esto puede ser caracterizado por $$(\Gamma_X(A))(c) \cong \{ \varphi : \mathsf{y}(c) \times X \to A\ |\ p \circ \varphi = \pi_2 : A \times X \to X \}$$ para todos los objetos $c$ de $\mathbb{C}$ , donde $\mathsf{y} : \mathbb{C} \to \mathcal{E}$ es la incrustación de Yoneda.

• Cuando $\mathcal{E}=\mathsf{Set}$ podemos tomar $\mathbb{C}=\mathbf{1}$ , de modo que esto dice $$\Gamma_X(A) \cong \{ \varphi : X \to A\ |\ p \circ \varphi = \mathrm{id}_X \}$$ Se puede comprobar fácilmente que esto es equivalente a la definición clásica de "función de elección".

• Cuando $\mathcal{E}=\mathsf{sSet}$ Esto dice precisamente que $$\Gamma_X(A)_n \cong \{ \varphi : \Delta_n \times X \to A\ |\ p \circ \varphi = \pi_2 : A \times X \to X \}$$

Ahora bien, tenga en cuenta que $(\mathsf{sSet}/Y)/f \cong \mathsf{sSet}/X$ y $\mathsf{sSet}/Y$ es un topos presheaf, ya que es equivalente a $\left[ \left( \int Y \right)^{\mathrm{op}}, \mathsf{Set}\right]$ , donde $\int Y$ es la categoría de elementos de $Y$ (cuyos objetos son pares $(n,y)$ , donde $n \in \mathbb{N}$ y $y \in Y_n$ ).

Así, para encontrar lo que $\Pi_f : \mathsf{sSet}/X \to \mathsf{sSet}/Y$ sí, podemos aplicar la caracterización anterior en el caso $\mathcal{E} = \mathsf{sSet}/Y$ , tomando $\mathbb{C}=\int Y$ y el transporte a lo largo de los isomorfismos $\left[\left(\int Y\right)^{\mathrm{op}},\mathsf{Set}\right] \cong \mathsf{sSet}/Y$ y $\mathcal{E}/f \cong \mathsf{sSet}/X$ .

Explícitamente: para cada $n \in \mathbb{N}$ y $y \in Y_n$ , dejemos que $$\Gamma_f(A)_{n,y} = \{ \varphi : \Delta_n \times_Y X \to A \text{ over } Y\ |\ p \circ \varphi = \pi_2 : A \times_Y X \to X \}$$ donde $\Delta_n \times_Y X$ es el pullback de $y : \Delta_n \to Y$ (que corresponde por Yoneda con $y \in Y_n$ ) y $f$ y $A \times_Y X$ es el pullback de $p$ y $f$ .

Definir el conjunto simplicial $\Gamma_f(A)$ por $$\Gamma_f(A)_n = \bigsqcup_{y \in Y} \Gamma_f(A)_{n,y}$$ El mapa $\Pi_f(p)$ viene dada entonces por la proyección $\Gamma_f(A) \to Y$ calculado por componentes.

Su pregunta real era: "¿existe una descripción simple como en el caso de $\mathsf{Set}$ ?'. Evidentemente, la respuesta es "no".